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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ donnée par :

\[f(x) = 5x^2 - 3.\]

Calculer : $f(- 7),\quad f\left(\dfrac45\right), \quad f\left(\sqrt 2 - 1 \right)$.

Aucun résultat ne sera pris en compte s'il n'est accompagné des calculs correspondants.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $A =  2\sqrt{75} - 3 \sqrt{27} + 5\sqrt{147}$.

Écrire $A$ sous la forme $a\sqrt 3$, où $a$ est un entier.

Sachant que : $1,73< \sqrt 3 < 1,74$ écrire un encadrement de $A$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On a mesuré le débit de la Seine à Paris, au cours d'une année. et on a ainsi établi une courbe présentant ses variations (figure ci-dessous).

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-1,-40)(12.5,520)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100](0,0)(0,0)(12.5,520)
\uput[u](12.2,0){mois}\uput[r](0,510){m$^3$/s}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,360)(1,415)(2,498)(3,345)(4,200)(5,185)(6,160)(7,105)(8,115)(9,160)(10,185)(11,210)(12,300)
\uput[d](1,0){\small J}\uput[d](2,0){\small F}\uput[d](3,0){\small M}\uput[d](4,0){\small A}
\uput[d](5,0){\small M}\uput[d](6,0){\small J}\uput[d](7,0){\small Jl}\uput[d](8,0){\small A}
\uput[d](9,0){\small S}\uput[d](10,0){\small O}\uput[d](11,0){\small N}\uput[d](12,0){\small D}
\multido{\n=1+1}{12}{\psline(\n,-5)(\n,5)}
\end{pspicture}
\end{center}

En abscisses figurent les noms des mois (J : janvier, F : février, etc.), tous supposés avoir 30 jours. 

En ordonnées le débit est indiqué en m$^3$/s.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle date le débit est-il le plus important ? 
\item Quel était le débit le 1\up{er} avril ?
\item À quelles dates le débit était-il de $200$~m$^3$/s ?
\item Entre quelles dates le débit était-il inférieur ou à 200~m$^3$/s ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On fera une figure et on la complètera suivant les indications données dans l'énoncé.

\medskip

Construire un cercle de centre O et de rayon 3~cm.

Soit A un point de ce cercle et H le point défini par : $\vect{\text{OH}} = \dfrac13\vect{\text{OA}}$.

La droite perpendiculaire à la droite (OA) en H coupe le cercle en deux points. Soit B
l'un d'eux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du segment [BH].
\item Construire la droite (D), tangente en A au cercle ; elle coupe la droite (OB) en I. Justifier que les droites (BH) et (AI) sont parallèles.
\item Construire le symétrique E de 0 dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite (D).

Justifier que OI = IE.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans la cour du Louvre, on construit une pyramide en verre qui abritera un hall d'entrée au musée.

Cette construction est une pyramide régulière à base carrée.

Soit ABCD le carré de base, de centre O ; la longueur d'un côté est $30$~m ; le milieu du segment [AB] est le point H.

Le sommet de la pyramide est le point S. La hauteur de la pyramide est de 20~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Démontrer que la droite (SH) est perpendiculaire à la droite (AB).
\item Calculer les longueurs des segments [OH] et [SH] et l'aire de la partie vitrée (triangles latéraux) en m$^2$ puis en hectares ($1$~ha $= 10^4$~m$^2$).

\emph{Rappel} : aire du triangle $= \dfrac12 bh$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\pspolygon(0,0.4)(3.7,0.4)(1,2.7)
\psline[linestyle=dashed](1,2.7)(1,0.4)
\psframe(1,0.4)(1.2,0.6)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,0.1)(3.7,0.1)\uput[d](1.85,0.1){$b$}
\uput[r](1,1.55){$h$}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Soit un triangle ABC, rectangle en A.

Le point H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

Le point I est le projeté orthogonal de H sur la droite (AB).

Le point J est le projeté orthogonal de H sur la droite (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.

Écrire deux rapports égaux à $\dfrac{\text{BI}}{\text{BA}}$.
\item On donne les mesures, en centimètres, des segments [AC], [IH] et [BI] :

\begin{center} AC = 9,\quad IH $= 6$,\quad BI $= 8$.\end{center}

Calculer la longueur du segment [AB].
\item Calculer la longueur du segment [BC], puis celle
du segment [BH].
\item Comparer les angles $\widehat{\text{HBI}}$ et
$\widehat{\text{AHI}}$.

Calculer $\tan \widehat{\text{HBI}}$, puis déterminer une valeur approchée, en degrés, à $1\degres$ près par défaut, de l'angle $\widehat{\text{HBI}}$.

On donne:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|X|X|}\hline
tan 35\degres = 0,700&tan 38\degres = 0,781\\ \hline
tan 36\degres = 0,727&tan 39\degres = 0,810\\ \hline
tan 37\degres = 0,754&tan 40\degres = 0,839.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}