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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Paris}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La fonction numérique $f$ est donnée par :

\[f(x) = \dfrac{2x + 1}{3 - x}.\]

Calculer la valeur exacte de $f \left(\sqrt 2\right)$ (on donnera le résultat
sous la forme $u + v\sqrt 2$, où $u$ et $v$ sont des entiers).

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $A = \dfrac{2ab}{4a - b}$  où $a = 0,2 \times 10^3$ et $b = 4 \times 10^2$.

Écrire $A$ sous la forme $k \times 10^n$, où $k$ est un entier naturel
strictement inférieur à 10, et $n$ un entier naturel.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $g(x) = (x + 3)^2 -(2x - 5)^2$.

\begin{enumerate}
\item Factoriser $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ : $g(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

La voiture de M. Durand, représentant de commerce, est en panne.

Il va louer un véhicule, et on lui propose deux contrats possibles :

\begin{description}
\item[ ] \emph{Contrat} A : il payera 3 F pour chaque kilomètre parcouru.
\item[ ] \emph{Contrat} B : il versera $200$ F pour la location, et $2$ F pour chaque kilomètre parcouru.
\end{description}

Aujourd'hui, M. Durand doit se rendre de Paris à une ville distante de $x$ kilomètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À combien s'élèvera sa dépense $y$ dans le cas où il choisit le contrat A ? le contrat B ?

\item Représenter graphiquement $y$ en fonction de $x$ dans les deux  cas, sur la même figure (unités graphiques: 2 cm pour $100$~km sur l'axe des abscisses; 1 cm pour $100$~F sur l'axe des ordonnées ).

\item Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera le graphique et on indiquera à chaque fois la méthode utilisée.

Quel contrat choisit M. Durand pour se rendre :
\begin{itemize}
\item de Paris à Limoges (400 km) ?
\item de Paris à Évreux (100 km) ?
\item de Paris à Soissons (200 km) ?
\end{itemize}

\item Quelle économie réalise-t-il en choisissant le tarif le plus avantageux pour aller de Paris à Limoges ?

\item M. Durand ne peut pas dépenser plus de $900$~F.

Quelles sont les villes où il peut se rendre au départ de Paris : Metz (331~km), Lille (219km), Nantes (376~km) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On veut mesurer la hauteur d'un peuplier. 

On dispose d'un instrument de visée dont l'objectif est situé au point O, à 1 m au-dessus du sol. Ce point O est, d'autre part, à $60$~m de la verticale de l'arbre.

On mesure l'angle $\widehat{\text{SOH}}$ ; on trouve $23\degres$. 

Quelle est la hauteur AS de l'arbre ?

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.7,6)
\pspolygon(1,1.5)(1,5.5)(5.6,1.5)
\psline(1,1.5)(1,0.9)(5.6,0.9)(5.6,1.5)%HA?O
\multido{\n=1+0.25}{22}{\rput(\n,0.8){/}}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,0)(5.6,0)\uput[u](3.3,0){60 m}
\rput(3.3,0.6){sol}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.5,0.9)(1.5,1.5)\uput[r](1.5,1.2){1 m}
\psarc(5.6,1.5){0.5}{140}{180}\rput(4.9,1.7){$23\degres$}
\pscurve[linecolor=green](1,5.5)(0.4,4.6)(0.2,3.7)(0.3,2.6)(0.7,1.8)(1,1.5)(1.3,1.8)(1.8,3.6)(1.6,4.7)(1,5.5)
\uput[u](1,5.5){S} \uput[dl](1,1.6){H} \uput[ul](1,0.8){A} \uput[ur](5.6,1.5){O}
\psline[linecolor=green](1,0.9)(1,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On donne : $\sin 23\degres \approx  0,391$,

\phantom{On donne : }$\cos 23\degres \approx 0,921$,

\phantom{On donne : }$\tan 23\degres \approx 0,424$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On veut mesurer la hauteur d'un sapin, mais cette fois, on ne dispose d'aucun instrument de visée, seulement d'un bâton.

On le pique en terre, verticalement, à $9$~m du pied du sapin. La partie visible du bâton BB$'$ mesure $2,5$~m.

On se place derrière, jusqu'à ce que l'œil O, situé à 1 m au-dessus du sol, voit en alignement: le sommet S de l'arbre, et l'extrémité B du bâton. On mesure alors la distance de l'œil au bâton et on trouve $1,5$~m.

Quelle est la hauteur du sapin au-dessus du sol ? (Voir figure suivante.)

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.7,6)
\pspolygon(1,1.5)(1,5.5)(5.6,1.5)
\psline(1,1.5)(1,0.9)(5.6,0.9)(5.6,1.5)%HA?O
\multido{\n=0.00+0.25}{26}{\rput(\n,0.8){/}}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,0)(3.8,0)\uput[u](2.4,0){9 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.8,0)(5.6,0)\uput[u](4.4,0){1,5 m}
\rput(3.3,0.6){sol}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.5,0.9)(1.5,1.5)\uput[r](1.5,1.2){1 m}
%\psarc(5.6,1.5){0.5}{140}{180}\rput(4.9,1.7){$23\degres$}
\pscurve(1,5.5)(0.7,4.8)(0.6,4.7)(0.8,4.6)(0.4,4.5)(0.7,3.7)(0.5,3.6)(0.6,2.7)(0.3,2.6)(0.7,1.8)(1,1.5)(1.3,1.8)(1.7,2.6)(1.4,2.7)(1.5,3.6)(1.6,4.7)(1,5.5)
\uput[u](1,5.5){S} \uput[dl](1,1.6){H} \uput[ul](1,0.8){A} \uput[ur](5.6,1.5){O}
\psline[linewidth=1.5pt](1,0.9)(1,1.5)
\psline[linewidth=1.5pt](3.8,0.9)(3.8,3.05)\uput[u](3.8,3.05){B}\uput[ur](3.8,1.5){K}\uput[ur](3.8,0.9){B$'$}
\psline(0,0.9)(1,0.9)\psline(5.6,0.9)(7,0.9)
\rput{90}(3.6,1.975){bâton}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La \og géode \fg{} est une salle de projection cinématographique installée au Parc de la Villette, à Paris. 

Extérieurement, c'est une sphère, recouverte d'acier poli, qui a $36$~m de diamètre. La partie visible, au-dessus du sol supposé horizontal, est une calotte sphérique de hauteur $29$~m.

Faire une figure.

Calculer la valeur exacte, en mètres, du rayon du cercle de section de la géode avec le sol ; puis encadrer le résultat par deux entiers consécutifs.

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\emph{Ne pas oublier que les réponses doivent être justifiées}

\medskip

Soit un triangle ABC quelconque, et un point M de la droite (BC) n'appartenant pas à la demi-droite (B$x$) qui contient C.

Par M, on trace la parallèle à la droite (AC) qui coupe ladroite (AB) en N, et la parallèle à la droite (AB) qui coupe la droite (AC) en P.

Faire une figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les rapports $\dfrac{\overline{\text{AP}}}{\overline{\text{AC}}}$  et $\dfrac{\overline{\text{BM}}}{\overline{\text{BC}}}$, puis les rapports $\dfrac{\overline{\text{AN}}}{\overline{\text{AB}}}$  et $\dfrac{\overline{\text{CM}}}{\overline{\text{CB}}}$.
\item Dans les questions suivantes, on suppose que B est le milieu du segment [CM].

Faire une figure.

Quelle est la nature du quadrilatère AMNC ?

Quelle est la position de A par rapport aux points P et C ?
\item Comment faut-il choisir le triangle ABC pour que le quadrilatère AMNC soit un losange  ?

Faire une figure.

Comment faut-il choisir le triangle ABC pour que le quadrilatère AMNC soit un carré ?
\end{enumerate}
\end{document}