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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris\footnote{Versailles} juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f(x) = 3x^2 - 2x + 7$.

Calculer $f\left( -\dfrac13 \right)$ ;

Calculer $f\left(2 - \sqrt 3\right)$.

(On écrira le résultat sous la forme $a + b\sqrt 3$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.)

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$.

En déduire un encadrement de $24 - 10\sqrt 3$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $g(x) = 16 - 9x^2 - (2 - x)(3x - 4)$.

Développer, réduire et ordonner $g(x)$.

Factoriser $g(x)$.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Jean m'a donné de l'argent pour aller chez le papetier.

Si j'achète 4 cahiers, il me manque 4~F{}.

Si j'en achète seulement $3$, il me reste $3,25$~F{}.

Quel est le prix d'un cahier et combien Jean m'avait-il donné ?



\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé \Oij. 
(Unité graphique : 2 cm.)

Représenter les points A$(-1~;~3)$, B(3~;~1) et $C(0~;~-4)$.

Rappeler une définition de la médiatrice $(\Delta)$ du segment [AC). 

Écrire une équation de $(\Delta)$. 

Le point B appartient-il à $(\Delta)$ ?

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tracer un segment [AB], de longueur $10$~cm.

Construire le point M de ce segment tel que  

\[\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}   = \dfrac37.\]

Décrire et justifier cette construction.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit un segment [AB], de milieu I. 

M étant un point quelconque, montrer que $\vect{\text{MA}} + \vect{\text{MB}} = 2\vect{\text{MI}}$.

On suppose, de plus, que $\vect{\text{MA}} + \vect{\text{MB}} = 4\vect{\text{BI}}$.

Montrer qu'alors M appartient à la droite (AB).

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Soit un demi-cercle $(C)$ de diamètre [AB], tel que AB $= 12$.

Soit O le milieu de [AB] et H le milieu de [AO].

La perpendiculaire en H à (AB) coupe $(C)$ en M.

Faire une figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AM et MB. Calculer $\sin \widehat{\text{ABM}}$ et $\cos \widehat{\text{ABM}}$.
\item Tracer la médiatrice de [AB]. Elle coupe (MB) en N.

Calculer NB et ON.
\item On trace la perpendiculaire en A au plan (P) du triangle ABM (on utilisera la figure ci-dessous, que l'on ne reproduira pas sur la copie).

Sur cette droite, on marque un point C tel que AC $= 12$.

On admettra que la droite (AC), étant perpendiculaire au plan (P), est perpendiculaire à toutes les droites de (P).

Calculer BC.

Calculer CM.

Quelle est la nature du triangle CMB ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(14.3,12)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(13,0)(14.1,5.8)(1.1,5.8)
\psarc(0,0){0.5}{0}{84}
\rput(0.2,0.2){P}\psline(8.2,11.4)(8.2,5)(3.2,1.8)(8.2,11.4)(8.82,3.4)(8.2,5)%CABCMA
\psline(8.82,3.4)(3.2,1.8)%MB(8.2,5)
\psellipticarc(5.7,3.4)(3.17,2.7){-147}{33}
\psline(8.82,3.4)(7.2,4.4)%MH
\psline(7.43,4.28)(7.2,4.1)(7.02,4.25)
\psline(5.6,3.35)(6.8,2.8)%ON
\psline(5.8,3.22)(5.6,3.1)(5.4,3.2)
\uput[ur](8.2,5){A} \uput[l](3.2,1.8){B} \uput[u](8.2,11.4){C} \uput[ul](7.2,4.4){H}
\uput[r](8.82,3.4){M} \uput[dl](6.8,2.8){N} \uput[ul](5.6,3.35){O}
\rput(7.6,1){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}