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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil--Paris--Versailles juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

Les trois exercices sont indépendants

Dans les exercices 1 et 3, les questions sont indépendantes

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\[ A = \dfrac{28}{\np{1000}}\:;\quad  B  = \dfrac{654}{15} \:;\quad  C = 125 \times 10^{-4}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture décimale de $A$, de $B$ et de $C$.
		\item Donner la notation scientifique de $A$, de $B$ et de $C$.
	\end{enumerate}
\item Écrire $A, B$ et $C$ sous forme d'une fraction irréductible
(c'est-à-dire qu'on ne peut plus simplifier).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E = (2x + 3)^2 - (x - 5)(2x + 3).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que $E = (2x + 3) (x +8)$.
\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $E = 0$.
\item Donner sous sa forme la plus simple la valeur exacte de $E$
pour $x = \sqrt 2$.

Encadrer cette valeur par deux entiers consécutifs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un bâtiment, il y a $33$ familles. On a classé ces
familles par le nombre de leurs enfants. Les résultats sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Nombre d'enfants par famille&Nombre de familles&Pourcentage de chaque
type de famille \\ \hline
0&6&18,2\\ \hline
1 &11&\\ \hline
2&8&\\ \hline
3&6&\\ \hline
4&0&\\ \hline
5 ou plus& 2 &6,1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier ce tableau et le compléter en calculant les pourcentages manquants (les résultats seront arrondis au dixième).
\item Combien de familles ont au moins deux enfants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

Les deux exercices sont indépendants.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip 

\emph{Les questions sont indépendantes}

\medskip 

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 6$~cm et AC $= 4$~cm.

On désigne par :

D le symétrique du point B par rapport au point A,

E le symétrique du point C par rapport au point A, F le point tel que DECF soit un parallélogramme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Calculer la valeur exacte de BC.
\item Calculer tan (ABC); en déduire la mesure de "ABC au degré près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ? Justifier la réponse.
		\item Montrer que OC = ID et que CF = ID. En déduire que C est le milieu de [BF].
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

La figure ci-dessous représente une pyramide régulière à base hexagonale ABCDEF. On la coupe par le plan parallèle à la base passant par le milieu L de [SA].
La figure de la pyramide n'est pas à reproduire.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-0.7)(1.2,3.2)
%\psgrid
\pspolygon(0,2.9)(-1.1,-0.1)(-0.6,-0.45)(0.6,-0.45)(1.1,-0.1)%SEFABS
\psline(-0.55,1.35)(-0.3,1.15)(0.3,1.15)(0.55,1.35)%QRLM
\psline(0,2.9)(-0.6,-0.45)%SF
\psline(0,2.9)(0.6,-0.45)%SA
\psline[linestyle=dashed](-1.1,-0.1)(-0.6,0.4)(0.6,0.4)(1.1,-0.1)%EDCB
\psline[linestyle=dashed](-0.55,1.35)(-0.3,1.7)(0.3,1.7)(0.55,1.35)%QPNM
\psline[linestyle=dashed](0,2.9)(-0.6,0.4)
\psline[linestyle=dashed](0,2.9)(0.6,0.4)
\psline[linestyle=dashed](0,2.9)(0,0)
\uput[dr](0.6,-0.45){\footnotesize A} \uput[dr](1.1,-0.1){\footnotesize B} \uput[ur](0.6,0.4){\footnotesize C} \uput[ul](-0.6,0.4){\footnotesize D} 
\uput[dl](-1.1,-0.1){\footnotesize E} \uput[dl](-0.6,-0.45){\footnotesize F} \uput[l](0,0){\footnotesize H} \uput[l](0,1.35){\footnotesize K} \uput[r](0.55,1.35){\footnotesize M} 
\uput[ur](0.3,1.7){\footnotesize N} \uput[ul](-0.3,1.7){\footnotesize P} \uput[l](-0.55,1.35){\footnotesize Q} \uput[dr](-0.3,1.15){\footnotesize R} \uput[dl](0.3,1.15){\footnotesize L} \uput[u](0,2.9){\footnotesize S}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la longueur LM est la moitié de la longueur AB.
\item Par quel nombre faut-il multiplier le volume de la petite pyramide (de base LMNPQR) pour obtenir le volume de la grande pyramide (de base ABCDEF) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes}

\medskip

À un examen, un élève passe deux épreuves, chacune notée sur 20. 

L'une est écrite (la note est désignée par $x$) et l'autre orale (la note est désignée par $y$).

Les coefficients des épreuves sont 5 et 2 ; la moyenne $m$ de l'élève à l'examen est calculée de la manière suivante :

\[m = \dfrac{ 5x + 2y}{7}\]

Elle est arrondie au dixième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne à l'examen d'André qui a eu $9,5$ à l'écrit et $12$ à l'oral.
\item Béatrice, pour être reçue, doit avoir $10$ de moyenne à l'examen.

Si elle a $9$ à l'écrit, quelle note lui faut-il au moins à l'oral ?
\item Claude a eu $9$ comme moyenne à l'examen. Il s'aperçoit qu'en intervertissant ses notes à l'écrit et à l'oral, il aurait eu une moyenne à l'examen de $12$.

Quelles sont ses notes à l'écrit et à l'oral ?
\item Démontrer que $\dfrac{5x + 2y}{7} = 12$ peut aussi s'écrire
$y = - \dfrac52 x + 42$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement la droite $(D)$ d'équation $y = - \dfrac52 x + 42$ dans un repère orthogonal (1 unité correspondant à $0,5$~cm).
		\item Trouver à l'aide du graphique la note à l'écrit de Damien qui a $12$ de moyenne à l'examen et 17 à l'oral.
		\item Peut-on trouver à l'aide du graphique la note à d'Étienne qui a $13$ de moyenne à l'examen et $14$ à l'oral ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}