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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Paris, Créteil, Versailles}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Paris\footnote{Créteil, Versailles}
 juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 2,5 points}

Calculer et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles :

\[A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} \times \left(1 - \dfrac{3}{2} \right)\qquad  B = \dfrac{7}{33} : \dfrac{49}{11}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 1,5 point}

Mettre sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers. 

\[C = \sqrt{3} -5\sqrt{12} + \sqrt{300}\]


\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 1,5 point}

Calculer et donner le résultat en utilisant la notation scientifique:

\[D = \dfrac{7 \times 10^{-3} \times 0,21 \times 10^{12}}{42 \times 10^{23}}.\]


\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 3,5 points}

On donne l'expression :

\[E = (7- 3x)^2- 5x(7 - 3x)\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$. 
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 4 points}

Virginie et Paul décident d'acheter des cassettes et des bandes dessinées.

Ils possèdent chacun 400 F.

Virginie achète 2 cassettes et 4 bandes dessinées, il lui reste alors 14 F{}.

Paul dépense 365~F pour l'achat de 3 cassettes et de 2 bandes dessinées.

Calculer le prix de chaque article.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,11.5)
\pspolygon(1.8,11)(5.6,11)(7.3,1)%BAM
\pscurve(0,9.5)(1,8.5)(2,8.7)(3,9)(4,9.1)(5,9)(6,8.9)(7,9.4)(8,10)(9,10.5)(10,11)
\pscurve(4,0.3)(5,0.6)(6,1.5)(7,2.5)(8,3)(9,2.8)(10,2.6)
\uput[u](1.8,11){B} \uput[u](5.6,11){A} \uput[d](7.3,1){M} 
\rput(3.5,5){BRAS DE MER}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Deux points A et M sont situés de part et d'autre d'un bras de mer.

Un géomètre souhaite connaître la distance séparant ces deux points.

Placé en A. il mesure l'angle $\widehat{\text{BAM}}$ et trouve $100\degres$.

Placé en B, il mesure l'angle $\widehat{\text{ABM}}$ et trouve $60\degres$.

La distance de A à B est $6,3$~km.

Soit H le projeté orthogonal de A sur la droite (BM).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de AH.
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{HAM}}$.
\item Calculer la valeur exacte de AM, puis une valeur décimale
approchée à $0,1$~km près.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$\cos$ &$\sin$ &$\tan$\\ \hline
30\degres&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\rule[-4mm]{0mm}{11mm}\\ \hline
60\degres&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\sqrt{3}$\rule[-4mm]{0mm}{11mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J) (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour cette question, on utilisera une feuille de papier millimétré.

Placer les points A$(- 2~;~5)$, B$(- 1~;~1)$, C$(3~;~0)$.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
\item Montrer que ABCD est un losange.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 13 points}

\medskip

SABC est une pyramide de sommet S. 

Sa hauteur est [SA].

Sa base est un triangle équilatéral.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,10.8)
\pspolygon(0.5,10.3)(0.5,3.9)(3.5,0.5)(6.3,4)%SABC
\uput[u](0.5,10.3){S} \uput[dl](0.5,3.9){A} \uput[d](3.5,0.5){B} \uput[r](6.3,4){C} 
\uput[dr](4.9,2.25){H}
\psline(0.5,10.3)(4.9,2.25)
\psline(3.5,0.5)(0.5,10.3)(6.3,4)
\psline[linestyle=dashed](6.3,4)(0.5,3.9)(4.9,2.25)
\end{pspicture}
\end{center}

Ses faces SAB et SAC sont des triangles rectangles en A.

L'unité de longueur étant le centimètre, on donne AB $= 4$ et AS $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner, en vraie grandeur, un patron de cette pyramide.

 On laissera apparents les traits de construction.
\item Le segment [AH] est une hauteur du triangle ABC. La tracer sur le patron.
Calculer AH.

En déduire l'aire, $S$, du triangle ABC, puis le volume $V$ de la pyramide SABC (on donnera les résultats sous forme exacte).
\item On complètera la figure au fur et à mesure de l'énoncé.

Soit 1 le centre de gravité du triangle ABC. On rappelle que I est le
point de [AH] tel que $\dfrac{\text{HI}}{\text{HA}} = \dfrac{1}{3}$.

On admet que le triangle SAH est rectangle en A.

Par I, on trace la perpendiculaire au plan ABC qui coupe le segment [SH] en T.

On admet que les droites (ID et (AH) sont perpendiculaires.
 
La pyramide de sommet T, de base ABC, est une pyramide régulière dont on se propose de calculer le volume.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter, en vraie grandeur, le triangle SAH, le segment [IT], puis calculer IT.
		\item En déduire le volume V$'$ de la pyramide TABC (on donnera la valeur exacte).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}