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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris octobre 1957}}

\end{center}

\smallskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer ,en un produit de deux facteurs 
du premier degré l'expression
\[x^2- 16 - (3x - 1)(x - 4).\]
\item Résoudre l'équation
\[x^2 - 16 - (3x-1) (x - 4)= 0.\]
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[\dfrac{x^2 - 16 - (3x - 1)(x - 4)}{ x^2 - 8x + 16}\]

Déterminer $x$ pour que cette fraction soit égale à l'unité.
\item Représenter graphiquement les fonctions suivantes ;
\begin{center}$y= - 2x + 5$ \qquad et \qquad $y = x - 4$.\end{center}
Retrouver graphiquement le dernier résultat du 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On considère trois points alignés, dans l'ordre P, C, D, tels que PC $= 4$ centimètres, PD $= 9$ centi- mètres, le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [CD], de centre O et un point A de ce cercle tel que PA $= 6$ ~centimètres.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (PA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
\item On mène la corde AB perpendiculaire à la droite CD, qu'elle coupe en H.

Prouver que les droites (AC) et (AD) sont les bissectrices de l'angle $\widehat{\text{PAB}}$.

Que représente le point C pour le triangle PAB ?
\item Le cercle de centre P et de rayon PA recoupe la droite (DA) en E et la droite (AC) en~F{}.

Démontrer que les points P{}, E, F sont alignés et que la droite (EF) est perpendiculaire à la droite (PD).
\end{enumerate}
\end{document}