\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Paris septembre 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs l'expression
\[A = (2x + 3)^2 - (x + 4)^2.\]

\item Développer et ordonner $A$ par rapport aux puissances décroissantes de $x$ et résoudre l'équation 

\[3x^2 + 4x - 7 = 0.\]

\item Soit la fraction 
\[B = \dfrac{A}{x^3 - 2x^2 + x}.\]

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on:
	\begin{enumerate}
		\item $B = 0$ ;
		\item $B = \dfrac 1x$ ?
	\end{enumerate}
\item Construire les droites $D_1$ et $D_2$ qui représentent les variations des fonctions 
\begin{center}$y = 3x + 7$\qquad  et \qquad $y = x - 1$.\end{center}

Ces droites se coupent en M et coupent respectivement l'axe $y'$O$y$ en N et P.

Calculer les coordonnées des points M, N, P et celles du milieu de [NP].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$ et [AB] un diamètre de ce cercle.

La médiatrice de [OA] coupe (AB) en I et le cercle $\mathcal{C}$ en M et N.

On trace le cercle de diamètre [OB] de centre J et l'on mène une tangente (IT) à ce cercle
(T point de contact).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs IM et IT et en déduire que le triangle ITM est isocèle.
\item On trace TO et TJ.

Montrer que le triangle OTI est équilatéral.

En déduire que le triangle ITM est équilatéral.
\item Quel est le rapport de similitude des triangles OTJ et ITM ?
\item On trace [TB]. Calculer $\widehat{\text{JTB}}$.

Montrer que les points M, T, B sont alignés et que le triangle MBN est équilatéral.
\end{enumerate}
\end{document}