\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Paris septembre 1959},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Paris}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Une personne voulant organiser son séjour de vacances obtient d'un hôtelier les conditions suivantes :

$\bullet~$ou bien verser à l'arrivée une somme de $100$~NF non remboursable en cas de départ et payer une pension journalière de $16$~NF ;

$\bullet~$ou bien ne rien verser à l'arrivée mais payer une pension journalière de $20$~NF{}.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, dans chacun des cas, la somme dépensée en fonction du nombre de jours $x$ comptés à partir du jour d'arrivée.
\item Construire les graphiques correspondants dans un même système d'axes.

Unités : sur l'un des axes $x'$O$x$ : 1 cm représente deux jours,

\phantom{Unités : }sur l'autre: 2 mm représentent $10$~NF{}.
\item Pour quelle durée du séjour serait-il indifférent d'adopter l'une ou l'autre des conditions proposées et quelle serait alors la somme dépensée ?
(on donnera une solution par le calcul et une solution graphique).
\item La personne ayant adopté les conditions les plus avantageuses, calculer l'avantage réalisé pour un séjour de 30 jours.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de centre O et de rayon $R$ et sur ce cercle deux arcs consécutifs $\widearc{\text{AB}}$ et $\widearc{\text{BC}}$ ayant respectivement pour mesure $60\degres$ et $90\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, en fonction de $R$, la longueur de la corde [AB] et celle de la corde [BC].
\item Le diamètre [BD] coupe la corde [AC] en I.

Montrer que les triangles AIE et DIC sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude ?

Utiliser cette similitude pour calculer la hauteur [BH], issue de B, du triangle ABC.
\item Calculer, en fonction de $R$, la longueur de chacun des segments [AH], [HC] et [AC].
\end{enumerate}
\end{document}