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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre les expressions 
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(6x + 15)(3 - x) + 4x^2 - 25\\
B(x)&=&4x^2 + 20x + 25
\end{array}\]
sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Mettre l'expression $A(x) - B(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $A(x) = B(x)$.
\item Soient deux axes rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.

Construire les droites $D$ et $D'$ représentatives de fonctions 
\begin{center}$y = - x + 4$\qquad  et\qquad $y = 2x + 5$.\end{center}

Retrouver sur le graphique les solutions de la question 3.
\end{enumerate}
\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit [AB] un diamètre fixe d'un cercle de centre O et de rayon $R$.

On prolonge [AB] au-delà de B d'un segment [BC] tel que BC $= 2$ AB.

Soit un point M du cercle (O).

On prolonge la corde [AM] au-delà de M d'un segment [MN] tel que MN $= 2$AM.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (MB) et (NC) sont parallèles et en déduire la nature du triangle ANC.
\item Montrer que la parallèle à (MO) menée par N passe par le milieu, D, de [AC].

Donner la valeur de ND en fonction de $R$.

Sur quelle ligne se déplace le point N lorsque M décrit le cercle (O) ?
\item Dans cette question, le  point M est déterminé sur le cercle (O) par la condition $\widearc{\text{AM}} = 120\degres$.

Montrer que, dans ce cas, le cercle de diamètre [MN] est tangent en D à la droite (AC).

Calculer en fonction de $R$ la longueur des segments [NA] et [NO].
\end{enumerate}
\end{document}