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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small septembre 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris septembre 1967~\footnote{Amiens, Caen, Lille, Orléans, Rouen}\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de deux facteurs l'expression
\[E= (12y + 5)^2 - (4y + 10x - 15)^2.\]

\item Exprimer $y$ en fonction de $x$ pour que l'on ait $E = 0$.
\item Les deux valeurs de $y$ trouvées au 2. sont des
fonctions de $x$.

Construire sur un même graphique les deux droites représentant ces fonctions. 

(On prendra deux axes $x'x$ et $y'y$ perpendiculaires et le centimètre comme unité de longueur.)
\item Calculer les coordonnées du point commun aux deux droites construites au 3.

Vérification graphique.
\item Calculer l'aire du triangle formé par les deux droites construites au 3. et l'axe $y'y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle de centre O et de rayon $R$ et deux de ses diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD]. (Les quatre points A, B, C et D sont donc sur le cercle.)

M étant le milieu de l'arc $\wideparen{\text{AC}}$, on trace (BM), qui coupe (OC) en P.

Soit H la projection orthogonale de M sur (OC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer les angles $\widehat{\text{MBA}},\: \widehat{\text{BMH}}$ et $\widehat{\text{BMC}}$.

En déduire que le triangle PMC est isocèle.
\item Démontrer que les triangles CMP et OMC sont semblables.

En déduire que CM$^2 =$ CP $\times$ CO.
\item Démontrer que le triangle MHO est rectangle isocèle.

En déduire les longueurs de OH, CH et CP en fonction de $R$.
\item Calculer en fonction de $R$ l'aire du triangle MCP.
\end{enumerate}
\end{document}