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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Paris}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré le polynôme :
\[A(x) = - 2x^2 + 6x + (3x + 2)(x - 3) +(x - 3)^2.\]

\item On considère la fraction rationnelle
\[E(x) = \dfrac{(2x - 1) (x- 3)}{x^2 - 9}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ cette fraction n'est-elle pas définie ?
		\item Calculer, sans simplifier $E(x)$, sa valeur numérique pour $x = \sqrt 2$.
		\item Simplifier la fraction $E(x)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $x$ pour que:
	\begin{enumerate}
		\item $E(x)$ prenne la valeur 1 ;
		\item $E(x)$ prenne la valeur 0.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer dans un système d'axes rectangulaires les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant respectivement les fonctions
\begin{center}$\left(D_1\right) \quad y = 2x - 1$\quad et \quad $\left(D_2\right)\quad y = x + 3$.\end{center}
		\item Retrouver graphiquement les résultats de la question 3. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} La question 1. a. et la question 4. a. peuvent être traitées
indépendamment des autres.
\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O et A un point de ce cercle. On trace un diamètre [BC] ne passant pas par A.

Soit K un point quelconque du segment [BC]. La perpendiculaire en K à [BC] coupe le cercle en P et P$'$ et les droites (BA) et (CA) respectivement en M et N.



\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les triangles BMK, BCA et NCK.
		\item En déduire les relations
\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
(1) &AB $\cdot$ KM = AC $\cdot$ KB\\
(2) &KM $\cdot$ KN = KB $\cdot$ KC.
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Démontrer que 
\begin{center}KP$^2 =$ KP$'^2$ = KB $\cdot$ KC ;\end{center}
en déduire que 

\begin{center}KP$^2 =$ KP$'^2$ = = KM $\cdot$ KN.\end{center}
\item On suppose que les segments [BC], [AB] et [KB] 
mesurent respectivement 10~centimètres, 6~centimètres 
et 2 centimètres.

Calculer les longueurs des segments [AC], [KM], [KN]
et [KP].
\item Dans les mêmes hypothèses qu'au 3., montrer
que les points P et P$'$ divisent le segment [MN] dans le
 rapport $\dfrac23$.
\end{enumerate}
\end{document}