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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $p$ et $q$, définies par

\begin{center}$p(x) = 3x^2 - 4x + 1$\quad  et \quad $q(x)= 3x + 1$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres $a,\: b$ et $c$ tels que
\begin{center}$a = p(1),\quad b = p\left(\dfrac23\right)$ \quad et \quad $c = p\left(1 - \sqrt 2 \right)$.\end{center}
\item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, encadrer le nombre $c$ par deux décimaux dont la distance est un centième.
\item On considère la fonction numérique $g$ : \og $p$ suivie
de $q$ \fg.

Calculer $g(1)$ et $g\left(\dfrac23\right)$, [c'est-à-dire $q(a)$ et $q(b)$].

Exprimer $g(x)$.

On trouvera que $g$ est une fonction polynôme du second degré.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

On considère maintenant les fonctions polynômes $h$ et $t$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
h(x) &=&9x^2 - 12x + 4 \:\:\text{et}\\
t(x)&=&(3x - 2)(1 - x)- \left(\dfrac23 x - 3\right)(2 - 3x).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $h$ et $t$ ; on montrera que chacune d'elles est un produit de fonctions polynômes du premier degré.
\item Résoudre, dans l'ensemble des réels, les équations 
\begin{center}$h(x) = 1$\quad et \quad $t(x) = 0$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice III}

\medskip

Le plan est muni du repère orthonormé \Oij.

On considère les points A, B et C définis par leurs coordonnées :
\begin{center}A(2~;~6),\quad B$(1~;~- 2)$\quad  et\quad  C(8~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces points; trouver les coordonnées du milieu, M, de [AC].
\item Calculer les coordonnées du point D, défini par
\[\vect{\text{BD}} = 2\vect{\text{BM}}\]

(c'est-à-dire que M est milieu de [BD]) et celles du point E
 défini par 
 \[\vect{\text{CE}} = \dfrac32\vect{\text{CA}}.\]
\item Calculer les distances BC, BM et MC (aucun calcul de valeur approchée n'est demandé).

En déduire que le triangle BMC est rectangle.
\item Montrer que le triangle EMD est rectangle et isocèle.

Donner, en degrés, les écarts angulaires de ses trois angles.
\item Montrer que les triangles AMB et CMB sont isométriques (on montrera qu'une symétrie, à préciser. les transforme l'un en l'autre).
\end{enumerate}
\end{document}