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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application de l'ensemble des réels dans lui-même définie par:
\[(1)\quad f(x) =(2x - 5)^2+(7x + 2)(2x - 5) + 4x^2 - 25.\]

\begin{enumerate}
\item Développer les calculs indiqués puis donner une forme réduite et
ordonnée du polynôme $f(x)$.
\item Reprenant l'écriture (1), montrer que le polynôme $f(x)$ est le produit
de deux polynômes du premier degré.
\item En utilisant l'une ou l'autre des deux formes obtenues, calculer le nombres $a = f\left(\dfrac52\right)$ et $b = f\left(2\sqrt 3\right)$ ; puis, à l'aide de l'encadrement $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, démontrer l'inégalité: 
\[|b - 77,28| < 10^{- 1}.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

/ /


Soit $h$ la fonction rationnelle définie par :
\[h (x) = \dfrac{(5 x - 2)^2 - (3 + 4x)^2}{x^2 - 25}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Préciser l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de cette fonction.

Le réel $x$ appartenant à $\mathcal{D}$, simplifier $h(x)$.
\item Déterminer l'ensemble des solutions de chacun des systèmes d'inéquations :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
9x + 1&>&0 \\
x+5 &<&0
\end{array}\right. \qquad 
\left\{\begin{array}{l c l}
9x + 1 &<&0\\
x + 5&>&0.
\end{array}\right.\]

puis l'ensemble des solutions de l'inéquation $h(x) \leqslant 0$ \:(1).

$\Delta$ désignant une droite munie du repère $\left(\text{O},\:\vect{u}\right)$, quel est l'ensemble des points de $\Delta$ dont les abscisses vérifient l'inéquation (1) ?
\end{enumerate}

\smallskip

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, les
points A, B, C sont définis par leurs coordonnées :
\begin{center}A$(- 1~;~- 2)$\quad;\quad B$\left(- 1~;~+~\dfrac12\right)$ \quad ;\quad C$(4; - 2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer : 
	\begin{enumerate}
		\item que le triangle (B, A, C) est rectangle.
		\item que le point O appartient au segment [BC].
		\item que les droites (AO) et (BC) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées du point D défini par 
		\[\vect{\text{AD}} = 2 \vect{\text{AO}} ?\]
		\item En utilisant la symétrie orthogonale par rapport à la droite (BC), montrer que les triangles (B, A, C) et (B, D, C) sont isométriques.
		
Qu'en résulte-t-il pour les directions des vecteurs $\vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{DC}}$ ?
		\item $a$ désigne l'écart angulaire, l'unité étant le degré, de l'angle 
géométrique $\widehat{\text{CBD}}$ ; calculer $\tan a$ et donner une valeur approchée de $a$, à un degré près, par défaut.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par M le milieu du segment [BC] et par E le symétrique de A par rapport à M.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées de E ?
		\item Démontrer que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}