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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small septembre 1976}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}
\smallskip



On considère la fonction polynôme $f$ définie par 
\[f(x) = (5x + 3) - 25x^2 + 9 + (5x + 3)(x + 5).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer. réduire et ordonner $f(x)$. Quel est le degré du polynôme $f$ ?
\item En reprenant la première forme donnée pour $f(x)$, 
montrer que $f(x)$ est le produit de deux fonctions polynômes du premier degré.
\item Résoudre dans l'ensemble des entiers relatifs $\Z$ puis dans l'ensemble des réels $\R$ l'équation
\[(5x +3)(- 4x + 9)= 5x + 3.\]
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par

\[h(x) = \dfrac{f(x)}{5x + 3}.\]
Quel est son ensemble de définition ? Soit $\mathcal{D}$ cet ensemble.

Pour tout réel $x$ appartenant à cet ensemble, montrer que l'expression  de $h(x)$ peut être simplifiée.


Calculer $h\left(- \dfrac52\right)$ et $h\left(\sqrt 3 + 1\right)$.

Pour ce dernier nombre, on donnera d'abord sa valeur exacte, puis on montrera
que le nombre $- 2$ est une valeur approchée par défaut à un dixième près du nombre $h\left(\sqrt 3 + 1\right)$.

On rappelle que $1,73 < \sqrt 3 < 1,74$.
\item Le plan étant muni d'un repère \Oij{} tracer la représentation graphique de la function $k$ définie par $k(x) = - 4x + 9$.

Le point A$\left(\dfrac32~;~3\right)$ appartient-il à cette représentation graphique ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points 
\begin{center}A$(- 2~;~- 1)$, \quad  B(0~;~4)\quad  et \quad C(3~;~1).\end{center}

Calculer les coordonnées du milieu M de (B, C).
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AM}}$ et $\vect{\text{BC}}$.

Montrer que ces vecteurs sont orthogonaux et que le triangle ABC est isocèle.
\item La droite (AC) coupe l'axe $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$ en N.

En projetant les points A, N et C sur l'axe $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$, montrer que N est le milieu de (A,~C).
\item On désigne par K la projection orthogonale de N sur la droite (AM) et par P le symétrique de N dans la symétrie d'axe (AM).

Montrer que K est le milieu de (A, M) ; en déduire que le quadruplet (A, P, M, N) est un parallélogramme.

Montrer que P est le milieu de (A, B); en déduire que le quadruplet (P, B, M, N) est un parallélogramme.
\item On considère l'angle géométrique $\widehat{\text{CAM}}$ et l'on désigne par $u$ son écart angulaire. On donne $\tan u= \dfrac37$.

Calculer
	\begin{enumerate}
		\item une valeur approchée de $\dfrac37$ à un millième près ;
		\item le degré étant pris pour unité, la valeur approchée de $u$ à un degré près par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}