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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Paris--Créteil}
\lfoot{\small septembre 1978}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris--Créteil septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par :
\[f(x) = 2(x + 1)^2 - \left(x^2 - 1\right) - 3x - 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.

Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\item Soit l'inéquation $x(x + 1) \geqslant 0$ : la résoudre.
	\begin{enumerate}
		\item dans $\R_{+}$ ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
		\item dans $\R_{-}$ ensemble des nombres réels négatifs ou nul.
		
Quel est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $\sqrt{x(x + 1)}$ existe ?
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $x \geqslant 0$.

Montrer que :
\[x \leqslant \sqrt{x(x + 1)} < x + 1.\]

en comparant $x^2,\: x(x + 1)$ et $(x + 1)^2$.
\item Comparer $55^2$ et \np{3080}.

Quelle est la racine carrée à une unité près par défaut de \np{3080} ?

On donnera un encadrement justifiant la réponse.
\item On cherche l'ensemble des entiers naturels $x$ tels que $x(x + 1) = \np{3080}$, c'est·à·dire l'ensemble des entiers naturels $x$ tels que
\[\sqrt{x(x + 1)}  = \sqrt{\np{3080}}.\]

Déduire des deux encadrements trouvés (celui de la question 3. et celui de la question 4.) l'unique valeur possible de $x$.

Cette valeur convient-elle ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip


Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, représenter
les points suivants définis par leurs coordonnées :
\begin{center}A(4~;~0), \quad B$(0~;~-4)$, \quad  C$(10~;~- 6)$, \quad  I$(5~;~- 5)$ \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le point I est le milieu du bipoint (B, C).

Montrer que le triangle (A,B,C) est rectangle.

Comparer les distances $d$(I, A), $d$(I, B), $d$(I, C).
\item On donne les points B$'(0~;~+ 4)$, C$'(10~;~+ 6)$. 

Montrer que les triangles (A, B, C) et (A, B$'$,C$'$) sont isométriques dans une isométrie $s$ telle que
A $= s$(A), B$' = s$(B), C$' = s$(C) que l'on précisera.

Quelles sont les coordonnées du milieu I$'$ du bipoint (B$'$, C$'$) ?
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AI}'}$ et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux ainsi que les vecteurs $\vect{\text{AI}}$ et $\vect{\text{B}'\text{C}'}$.
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [BC]. 

Montrer que A appartient à $\mathcal{C}$.

Comparer les directions de la tangente en A à $\mathcal{C}$ et de la droite (B$'$C$'$).
\end{enumerate}
\end{document}