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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small septembre 1979}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La fonction polynôme $f$, de $\R$ dans $\R$, est définie par
\[f(x) =(6x +1)^2- (4x - 3)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.

Calculer $f(0)$,\: $f\left(-\dfrac12\right)$ et $f\left( \sqrt 3\right)$. 

En utilisant l'encadrement suivant :
\[1,732 < \sqrt 3 < 1,733,\]

encadrer $f\left( \sqrt 3\right)$ par deux nombres décimaux $a . 10^p$ et
$(a + 1) . 10^p$,\: $a \in \Z$ et $p \in \Z$.
\item Montrer que, pour tout réel $x$,
\[f(x) = 4(x + 2)(Ax + B),\]
où $A$ et $B$ sont des entiers relatifs que l'on déterminera.
\item Résoudre, dans $\R$, puis dans $\Z$, l'équation 
\[f(x) = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $g$, $h$ et $l$, de $\R$ dans $\R$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
g(x)&=& 4x - 3, \\
h(x)&=& x^2 - 1,\\
l(x)&=&12x - 11.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout réel $x$,
\[A(x) = 2g(x) + 4h(x) - l(x).\]

Montrer qu'il existe au moins une fonction affine $p$
telle que l'on ait, pour tout réel $x$,
\[\:A(x) =[p(x)]^p.\]
\item Calculer, pour tout réel $x$,\: $(g \circ h) (x)$ et $(h \circ g)(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Le plan euclidien étant muni d'un repère
orthonormé \Oij, les points A, B, C et H sont définis par 

\[\vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} + \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} + 7\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} = -2\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OH}} = 3\vect{\imath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les distances $d$(H, A) et $d$(H, B) et
démontrer que les droites (HB) et (HA) sont orthogonales. 

L'unité étant le degré, quel est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{HAB}}$ ?
\item Démontrer qu'il existe un entier relatif $k$ que l'on précisera tel que
\[\vect{\text{HC}} = k\vect{\text{HA}}.\]

En déduire $d$(H, C).

On désigne par $x$ l'écart angulaire, l'unité étant le
degré, de l'angle géométrique $\widehat{\text{HBC}}$ ; calculer $\tan x$ ; en utilisant une table de rapports trigonométriques, encadrer $x$ par deux entiers consécutifs.
\item On désigne par I le centre du cercle circonscrit au triangle (H, B, C). 

Quelles sont les coordonnées de I ?

Ce cercle rencontre l'axe $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$  en H et en K ; quelles sont les coordonnées de K ?
\end{enumerate}
\end{document}