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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$,de $\R$  dans $\R$, définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\left(x^2 + 3\right)(x - 2) - \left(x^2 - 4x + 4\right)(x + 2) \\
g(x)&=&(2x +3)^2- (x + 5)^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que 1 est une fonction affine. La représenter graphiquement.
		\item Écrire $g(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du type
$ax + b,\: a \in \R,\: b \in \R$.
		\item  Résoudre, dans $\R$ les équations
\begin{center}$f(x) = 7$,\qquad  $g(x) = 0$.\end{center}
	\end{enumerate}
\item La fonction $q$, de $\R$ dans $\R$, est donnée par 
\[q(x)= \dfrac{g(x)}{(3x + 8)(2x - 1)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $q$ ?
		\item Simplifier, pour tout réel $x$ de $\mathcal{D}$, l'écriture de $q(x)$.
		\item Calculer $q\left(\sqrt 2\right)$. (On donnera ce résultat sous la forme d'un quotient de dénominateur entier et positif.) 
		
En utilisant l'encadrement suivant de $\sqrt 2$ :
$1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, trouver les intervalles de la forme
\[\left[a \cdot 10^p~;~(a + 1)\cdot 10^p \right[,\: a \in \Z,\: p \in \Z_- \{0\}\]

qui contiennent $7 \cdot  q\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

%%%figure

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.8)
%\psgrid
\psline(0,0.9)(4,0.9)\psline(0,1.9)(4,1.9)
\pspolygon(0.6,0.9)(2.7,0.2)(2.7,1.9)(0.6,3.5)%H'BKA
\psframe(0.6,1.9)(0.8,2.1)\psframe(2.7,0.9)(2.5,0.7)
\uput[dl](0.6,0.9){H$'$} \uput[dr](2.7,0.2){B} \uput[ur](2.7,1.9){K} \uput[ul](0.6,3.5){A}
\uput[ul](0.6,1.9){H} \uput[dr](2.7,0.9){K$'$} \uput[u](3.7,1.9){$(D)$} \uput[u](3.7,0.9){$(D')$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Pour aller d'un point A à un point B situés, comme l'indique la figure ci-dessus, de part et d'autre d'une avenue représentée par la bande que définissent les droites parallèles $(D)$ et $(D')$, un piéton doit utiliser un passage protégé de direction orthogonale à celle de $(D)$ et de $(D')$. (Tous les éléments de la figure sont dans un même plan P{}.)

On désigne par H l'image de A dans la projection orthogonale de P sur $(D)$. On désigne par H$'$ l'image de A dans la projection orthogonale de P sur $(D')$. 

On désigne par K l'image de B dans la projection orthogonale de P sur $(D)$. On désigne par K$'$ l'image de B dans la projection orthogonale de P sur $(D')$.

On donne, en mètres, les distances suivantes:

\begin{center}$d$(A, H) = 30,\quad  $d$(H, H') = 20 ,\quad  $d$(H, K) = 40,\quad  $d$(B, K$'$) = 10.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si le passage est représenté par le segment [H, H$'$], quelle est la distance parcourue par le piéton qui suit alors le trajet [A, H, H$'$, B] ?
\item Si le passage est représenté par le segment [K, K$'$], quelle distance parcourt-il ?
\item On désigne par C l'image du point A dans la translation de vecteur $\vect{\text{HH}'}$.

La droite (CB) coupe la droite $(D')$ en M$'$. Construire le point M tel que le quadruplet (A, C, M$'$, M) soit un parallélogramme.

Démontrer que M appartient à la droite $(D)$.

Si le passage est représenté par le segment [MM$'$], quelle distance le piéton parcourt-il en suivant le trajet [A, M, M$'$, B] ?
\item Comparer les trois trajets précédents. 

(\textbf{N. B.} : $\sqrt 2 < 1,5$ et $\sqrt 7 > 4$.)
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - L'utilisation des calculatrices électroniques n'est pas autorisée.
\end{document}