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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{septembre 1990}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris--Créteil--Versailles septembre 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

Calculer

\[A = \dfrac56 - \dfrac14 \times \dfrac83\:; \quad B = 3,5 \times 10^2 - 4,7 \times 10 + 315 \times 10^{-1}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression :

\[F = (3x - 2)^2 - (2x + 1) (3x - 2).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et simplifier $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Calculer $F$ pour $x = 3$, puis pour $x =\sqrt 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une maternité, on mesure la taille des nouveaux-nés à 1 cm près.

L'histogramme ci-après illustre la répartition des $40$ nouveaux-nés selon leur taille :

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=5,ysubticks=5]{->}(0,0)(0,0)(15,12)
\multido{\n=1.5+1.0,\na=45+1}{11}{\uput[d](\n,0){\na}}
\psframe(1,0)(2,1)
\psframe(2,0)(3,3)
\psframe(3,0)(4,2)
\psframe(4,0)(5,4)
\psframe(5,0)(6,10)
\psframe(6,0)(7,7)
\psframe(7,0)(8,5)
\psframe(8,0)(9,2)
\psframe(9,0)(10,3)
\psframe(10,0)(11,1)
\psframe(11,0)(12,2)
\uput[r](0,11.5){\small Effectif} \uput[u](14,0){\small Taille en cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
taille en cm&45 &46& \ldots\\ \hline
effectif&&& \\ \hline
pourcentage&&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer, pour cette période, la taille moyenne des nouveaux-nés à $1$~mm près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal, unité le cm, construire : 

\begin{itemize}
\item la droite $D$ d'équation $y = 2x + 1$,
\item la droite $D'$ d'équation $y = - 0,5x + 6$. 
\end{itemize}
\item Montrer que les droites $D$ et $D'$ sont perpendiculaires. 
\item Calculer les coordonnées de leur point d'intersection.


\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
On remplit un cône de $9$ cm de hauteur et de $8$ cm de diamètre de base avec de la glace
à la vanille pour les 2/3 de la hauteur, puis au chocolat pour la partie restante.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.6,-0.5)(2.7,4)
\psellipticarc(0,0)(1.55,0.45){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.55,0.45){0}{180}
\psellipticarc(0,1.45)(1,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,1.45)(1,0.3){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](-1.55,0)(1.55,0)
\psline[linestyle=dashed](0,4)
\psline(-1.55,0)(0,4)(1.55,0)
\rput(1.4,2.3){Vanille}\psline{->}(0.8,2.3)(0.4,2.3)
\rput(2.1,0.8){Chocolat}\psline{->}(1.3,0.8)(0.7,0.8)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de glace qu'il contient.
\item Par quelle fraction faut-il multiplier le volume total de glace pour obtenir le volume de glace à la vanille ?

Calculer le volume de glace à la vanille et celui de glace au chocolat.

Les différents volumes seront arrondis au cm près.

On rappelle que le volume $V$ d'un cône de hauteur $h$ et de rayon de base $r$ est donné par :

\[V = \dfrac13 \pi r^2 h.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'unité de longueur est le centimètre.

Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 6$ et AC $= 8$.

\item Calculer BC.
\item Placer un point M sur le segment [AB], distinct de A et de B.
La parallèle à la droite (BC) passant par M coupe la droite (AC) en N.

Construire le point P, projeté orthogonal du point M sur la droite (BC).

Construire le point Q projeté orthogonal du point N sur la droite (BC).
\item Quelle est la nature du quadrilatère MNQP ? Justifier.
\item On pose AM $= x$. Déterminer, en fonction de $x$, AN puis MN.
\item Dans le triangle ABC, calculer $\sin \widehat{\text{B}}$.

Dans le triangle MBP, exprimer $\sin \widehat{\text{B}}$.

En déduire l'expression de MP en fonction de $x$.
\item Déterminer $x$ pour que le quadrilatère MNQP soit un carré. 

Donner une valeur arrondie de AM au millimètre près.

Tracer la figure dans ce cas particulier et vérifier le résultat trouvé
précédemment.
\end{enumerate}
\end{document}