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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Paris--Créteil--Versailles}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris\footnote{Créteil--Versailles}
 septembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les $4$ exercices sont indépendants. Dans les exercices $3$ et
$4$ les questions sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer (donner des résultats exacts sous forme décimale ou
sous forme d'une fraction irréductible) :

\[A = 4,5 \times 10^2 - 543 \times 10^{-1} + 5,8 \times 10^{-1} , \quad B = 2 - \dfrac18 \times \dfrac{14}{3}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

 Mettre $A = \sqrt{27} + 2\sqrt{108}  - 3\sqrt 3$ sous la forme $a\sqrt 3$ avec $a$ entier.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $A = (x - 3)^2 - 25$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ pour $x = - 2$
\item Développer, réduire et ordonner $A$.
\item Factoriser $A$, c'est-à-dire mettre $A$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici la répartition par année de naissance des 150 élèves des classes de sixième d'un collège.
Les élèves \og d'âge normal\fg{} sont ceux nés en 1980.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année de naissance 		&1978 	&1979 	&1980 	&1981\\ \hline
Fréquence en pourcentage& 20\,\%&28\,\% &46\,\% &6\,\%\\ \hline
Effectif				&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessus.
\item Quel est le nombre d'élèves ayant un an d'avance ?
\item Quel est le pourcentage d'élèves ayant au moins un an de
retard ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip 

On considère le trapèze rectangle dessiné ci-dessous.

On donne aussi : AD $= 3$~cm, \:  BC $= 8$~cm, \: AB $= 13$~cm.

On appelle $\Delta$ la droite parallèle à la droite (AB) qui passe par le point D.

On appelle M le point d'intersection de la droite $\Delta$ et de la droite (BC).

Le dessin  à l'échelle n' est pas demandé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que ABMD est un parallélogramme.
		\item En déduire la longueur des segments [DM], [MB] et [MC].
		\item Calculer la longueur DC.
	\end{enumerate}	
\item Les droites (AC) et (DM) se coupent en E.

Calculer la longueur EM (donner la valeur exacte) ; on pourra pour cela considérer le triangle ACB.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.8,4.3)
\pspolygon(0.2,0.8)(1.9,0.8)(4.1,1.6)(0.2,3.5)%DABS
\psline(0.2,3.5)(1.9,0.8)%SA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.8)(0.9,1.6)(4.1,1.6)%DCB
\psframe(0.2,0.8)(0.4,1)
\psline(0.2,1)(0.36,1.15)(0.36,0.95)
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.6)(0.2,3.5)%CS
\uput[d](1.9,0.8){A} \uput[r](4.1,1.6){B} \uput[l](0.9,1.6){C} \uput[dl](0.2,0.8){D} \uput[u](0.2,3.5){S}

\pspolygon(5.2,0.2)(6.2,0.2)(7.4,3.5)(5.2,3.5)%DABC
\psframe(5.2,3.5)(5.4,3.3)
\psframe(5.2,0.2)(5.4,0.4)
\uput[dr](6.2,0.2){A} \uput[r](7.4,3.5){B} \uput[l](5.2,3.5){C} \uput[dl](5.2,0.2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

 On considère la pyramide de sommet S, de base le trapèze rectangle ABCD tel que AB $= 13$~cm, BC $= 8$~cm, CD $= 12$~cm, DA $= 3$~cm, et de hauteur SD $= 5$~cm.

\emph{Rappel} : aire d'un trapèze = $\dfrac12 \times$ hauteur $\times $ (grande base
+ petite base).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du trapèze ABCD.
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

On considère, dans le plan, un repère (O, I, J) orthonormal. 

Les droites $D_1$ et $D_2$ ont pour équations respectives

\[D_1 \:: y = 2x + 4 \quad  \text{et}\quad  D_2 \::  y = \dfrac{- x + 3}{2}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $D_1$ et $D_2$ dans le repère (O, I, J).
\item À l'aide d'un calcul, montrer que le point C$(5~;~-1)$ est un point de $D_2$.
\item B appartient à la droite $D_1$. Son ordonnée est égale à $- 6$. 

Calculer son abscisse.
\item Montrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont perpendiculaires.
\item Calculer les coordonnées du point A, intersection des droites $D_1$ et $D_2$.
\item Montrer que BC $= 5\sqrt 5$ et AB $= 4\sqrt 5$.
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.

En déduire la valeur approchée à 1 degré près par défaut de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}