\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Paris juin 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires $x'$O$x$ et $y'$O$y$, un point A d'abscisse + 2 sur l'axe $x'$O$x$ et un point B d'ordonnée + 4 sur l'axe $y'$O$y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la fonction dont la droite (AB) est la courbe représentative ? (Équation de la droite (AB).)
\item Soit la droite $D_1$ d'équation $y = 3x$ ; déterminer les coordonnées du point, P{}, de rencontre de $D_1$ avec la droite (AB).
\item Considérer maintenant la droite $D_2$ d'équation $y = - 3x$.

Quelles sont les coordonnées du point de rencontre, M, de $D_2$ avec la droite (AB) ?

\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{AM}}{\text{AP}}$ et $\dfrac{\text{BM}}{\text{BP}}$
et donner leur valeur.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On considère une droite, $D$, et deux points, A et B, situés d'un même côté de la droite $D$ et tels que (AB) soit perpendiculaire à $D$.

Soit M un point de $D$. On élève en A la perpendiculaire à (AM) et en B la perpendiculaire à (BM) ; les deux droites ainsi construites se coupent en P{}.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère MABP est inscriptible.
\item On suppose que le point M décrit la droite $D$. Déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item le lieu du centre, O, du cercle circonscrit au quadrilatère MABP ;
		\item le lieu du point P{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}