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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Paris, Versailles}
\lfoot{\small juin 1989}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris, Versailles juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application f définie dans $\R$ par 

\[f(x) = (x - 3)^2 - 2(x + 4)(3 - x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré. 
		
Le nombre $- \dfrac53$ vérifie-t-il $f(x) = 0$ ?
	\end{enumerate}
\item On donne 

\[g(x) = \dfrac{2x- 5}{3x+ 4}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g\left(\dfrac56\right)$.
		
On donnera le résultat sous forme d'une
fraction irréductible.
		\item Calculer $g\left(\sqrt 2\right)$.
		
On donnera le résultat sous forme d'un quotient avec dénominateur entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'unité de longueur est le centimètre.

On donne la figure ci-après, qui n'est pas à reproduire sur la copie.

AC $= 2$ \:;\quad AE $= 5$ \:;\quad AB $= 3$.

Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Calculer AD. Justifier.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5.5)
%\psgrid
\psline(0,0.4)(8,4.8)
\psline(0,0.7)(7.5,1.7)
\psline(2.3,0)(4.2,4)
\psline(5,1)(6.9,5)
\uput[u](0.7,0.8){A} \uput[ul](3.3,2.14){B} \uput[dr](2.8,1.08){C} \uput[ul](6.38,3.9){D} \uput[dr](5.2,1.4){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\item ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$ est un cube d'arête 5 cm.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4.5,4)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(2.7,2.7)%D'C'B'A'
\psline(2.7,0.2)(4,1.1)(4,3.6)(2.7,2.7)%C'CBB'
\psline(4,3.6)(1.5,3.6)(0.2,2.7)%BAA'
\pspolygon[linestyle=dashed](1.5,3.6)(4,1.1)(0.2,0.2)%ACD'
\psline[linestyle=dashed](1.5,3.6)(1.5,1.1)(2.7,0.2)%ADC'
\pspolygon[linestyle=dashed](4,1.1)(1.5,1.1)(0.2,0.2)%CDD'
\uput[u](1.5,3.6){A} \uput[u](4,3.6){B} \uput[dr](4,1.1){C} \uput[ur](1.5,1.1){D} \uput[l](0.2,2.7){A$'$}\uput[r](2.7,2.7){B$'$}\uput[dr](2.7,0.2){C$'$}\uput[dl](0.2,0.2){D$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Quelle est la nature du triangle AD$'$C?
\item Les figures demandées dans cette question seront faites
sur une feuille de papier millimétré et sans calculs préalables.

\emph{Figure} 1. Représenter, en vraie grandeur, le carré ABCD et
sa diagonale [AC].

\emph{Figure} 2. Construire, en vraie grandeur, à la règle et au 
compas, le triangle AD$'$C.

\emph{Figure} 3. Construire, en vraie grandeur, le triangle ADC$'$, rectangle en D. 

Mesurer AC$'$ et indiquer, au millimètre près, le résultat trouvé.
\item Calculer les valeurs exactes de AC, DC$'$ et AC$'$.

On donne $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$. Vérifier ainsi le résultat de
votre mesure.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

On considère les applications numériques $f$ et $g$ définies par 

\[f(x) = - 2x + 14\quad  \text{et}\quad  g(x) = 2x + 8.\]

\begin{enumerate}
\item Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) (unité graphique : 1 cm).

Dans P, représenter $f$ par $D$ et $g$ par $\Delta$.

Lire sur ce graphique les coordonnées du point d'intersection I des droites $D$ et $\Delta$.

Calculer ces coordonnées.
\item Le quadrilatère ABCD est un trapèze rectangle de hauteur
AD $= 4$, de bases AB $= 4$ et CD $= 7$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4.6,3.3)
%\psgrid

\pspolygon(0.2,0.2)(0.2,2.6)(2.5,2.6)(4.3,0.2)%DABC
\psline(2.5,2.6)(1.5,0.2)%BM
\uput[ul](0.2,2.6){A} \uput[u](2.5,2.6){B} \uput[dr](4.3,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[d](1.5,0.2){M}
\psframe(0.2,2.6)(0.4,2.4)
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

Soit M un point quelconque du segment [OC].

On désigne par $x$ la longueur du segment [DM]. Quelles sont les valeurs possibles de $x$?

Calculer, en fonction de $x$, l'aire du triangle MBC.

Calculer, en fonction de $x$, l'aire du trapèze ABMD.

\item On peut utiliser le graphique du 1 pour les questions sui- vantes:
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'aire du triangle MBC et celle du trapèze ABMD lorsque $x = 3$ ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du trapèze ABMD est-elle égale à 12 cm$^2$ ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ les deux aires sont-elles égales ? Quelle est leur valeur commune ?
	\end{enumerate}	
\item Calculer $f(7)$ et $g(7)$.

Que représentent géométriquement ces deux nombres ?

Calculer $f(x) + g(x)$. Interpréter géométriquement ce résultat.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Formulaire}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4.8)
\pspolygon(0,2)(3.2,2)(1,4.3)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,1.7)(3.2,1.7)\uput[d](1.6,1.7){$B$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.8,2)(3.8,4.3)\uput[r](3.8,3.15){$h$}
\rput(1.6,0.3){Aire $= \dfrac12 \times B \times h$}
\pspolygon(4.8,2)(8.8,2)(7.5,3.5)(5.3,3.5)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(4.8,1.7)(8.8,1.7)\uput[d](6.8,1.7){$B$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(9.5,2)(9.5,3.5)\uput[r](9.5,2.75){$h$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5.3,3.7)(7.5,3.7)\uput[u](6.4,3.7){$b$}
\rput(6.8,0.3){Aire $= \dfrac12 \times (B + b)  \times h$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}