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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Créteil, Paris, Versailles}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil, Paris, Versailles  juin 1995~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $A = (2x- 1)^2 - (2x - 1)(15 - 3x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A$ suivant les puissances décroissantes de x .
\item Factoriser $A$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l’expression $B = (4x - 1)(3 - x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $B$ pour $x= - 15$, puis pour $x = \sqrt 3$.

Dans ce deuxième cas, on écrira le résultat sous la forme $a + b\sqrt 2$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs.
\item Résoudre l’équation $B = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
5x + 3y &=& 20,5\\
4x + 4 y &=& 22
\end{array}\right.$

\item On fabrique des badges à l'aide de triangles, tous de même forme, dont certains sont en émail bleu, et les autres sont dorés.

Les triangles de même nature sont tous au même prix. 

Les triangles dorés sont représentés hachurés sur la figure, tandis que les triangles émaillés ont été laissés en blanc.

Le badge \no 1 revient à $20,50$ F ; le badge \no 2 revient à $22$~F. 

À combien revient le badge \no 3 ?
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
%\psgrid
\psframe(0,0.5)(3,3.5) \psframe(3.5,0.5)(6.5,3.5)\psframe(7,0.5)(10,3.5)
\psline(0,2)(3,2)\psline(1.5,0.5)(1.5,3.5)
\multido{\n=0+90}{3}{\rput{\n}(1.5,2){\pspolygon[fillstyle=hlines](0,0)(1.5,0)(1.5,-1.5)}}
%%%%
\pspolygon[fillstyle=hlines](3.5,2)(5,0.5)(6.5,2)(5,3.5)
\psline(3.5,2)(6.5,2)\psline(5,3.5)(5,0.5)
%%%%%%
\def\tri{\pspolygon[fillstyle=hlines](0,0)(1.5,0)(1.5,1.5)}
\rput(7,2){\tri}\rput(8.5,2){\tri}\rput(7,0.5){\tri}\rput(8.5,0.5){\tri}
\pspolygon[fillstyle=hlines](7,2)(7,3.5)(8.5,3.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La partie supérieure vitrée d'un réverbère est constituée par les faces latérales de deux pyramides régulières de même base carrée ABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(2,2.1)
\psline(-1.6,0)(0.4,-0.9)(1.6,0)(0,1.8)(0.4,-0.9)%ABCSB
\psline(0,1.8)(-1.6,0)(0,-2.6)(0.4,-0.9)%SATB
\psline(0,-2.6)(1.6,0)%TC
\pspolygon[linestyle=dashed](-1.6,0)(-0.4,0.9)(1.6,0)%ADCA
\pspolygon[linestyle=dashed](0.4,-0.9)(-0.4,0.9)(0,1.8)%BDS
\psline[linestyle=dashed](0,-2.6)(-0.4,0.9)%TD
\uput[l](-1.6,0){A} \uput[dr](0.4,-0.9){B} \uput[r](1.6,0){C}
\uput[ur](-0.4,0.9){D} \uput[u](0,1.8){S} \uput[d](0,-2.6){T}
\end{pspicture}
\end{center}%fig


Les côtés du carré ABCD mesurent 20 cm.

Les arêtes latérales de la pyramide SABCD mesurent 40 cm.

Les arêtes latérales de la pyramide TABCD mesurent 60 cm.

Faire un patron de cette partie vitrée, à l'échelle 1/10\up{e}.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt]
\psline[linewidth=0.5pt](0,2)(2,0)
\psline[linewidth=0.5pt](0,4)(4,0)
\psline[linewidth=0.5pt](2,4)(4,2)

\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(4,2)
\psline[linewidth=0.5pt](0,2)(2,4)
%\pscustom[fillstyle=vlines]{\psarc(1,0){1}{180}{90}\psarc(0,1){1}{0}{90}\psline(0,1)(0,-1)}
\pswedge[fillstyle=vlines](0,1){1}{-90}{90}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,0){1}{90}{180}
\uput[l](0,2){B} \uput[ul](2,2){A} \uput[l](0,1){I}
\uput[ur](1,1){O} \uput[dl](0,0){C} \uput[d](1,0){J}  \uput[d](2,0){D}
\psline[linewidth=0.5pt](4,4)
\end{pspicture}
\end{center}

La figure hachurée ci-dessus  a pour lignes frontières : 

\begin{itemize}
\item le segment [BC] ;
\item le quart de cercle de centre I et de rayon IO ;
\item le quart de cercle de centre J et de rayon JO.
\end{itemize}
 
Représenter, sans explications, mais en les numérotant, et en les
hachurant, les images de cette figure dans les applications suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item La symétrie de centre O.
\item La symétrie orthogonale d'axe (AB).
\item La translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.
\item La rotation de centre A qui transforme B en D.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit un triangle ABC, dans lequel on a tracé une droite (ED) parallèle à la droite (BC).

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(5,4)
%\psgrid
\pspolygon(2.5,3.6)(0,0)(2.4,0.6)%ABC
\psline(2.5,3.6)(4.6,2.25)(0.96,1.38)(2.4,0.6)%AFEC
\uput[u](2.5,3.6){A}\uput[dl](0,0){B}\uput[dr](2.4,0.6){C}
\uput[dr](2.42,1.73){D}\uput[ul](0.96,1.38){E}\uput[r](4.6,2.25){F}
\rput(1.7,2.8){3}\rput(2.7,2.6){2}\rput(1.4,0.2){3}\rput(0.3,0.8){2}
\end{pspicture}
\end{center}

On donne AE = BC = 3 et EB = AD = 2. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AC, puis DC. Calculer ED.
\item On sait que DF $= 2,7$. 

Les droites (EC) et (AF) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Formulaire} : Aire d'un triangle de base $B$ et de hauteur $h$ :

\[\mathcal{A} = \dfrac12 \times B \times h.\]

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(6,3.6)
\pspolygon(6,0)(0,3)(0,0)%ABH
\psframe(0.2,0.2)
\pspolygon[fillstyle=hlines](6,0)(0,3)(3,0)%ABO
\uput[d](6,0){A}\uput[u](0,3){B}\uput[d](0,0){H}\uput[d](3,0){O}
\uput[l](0,1.5){3}\uput[d](1.5,0){3}\uput[d](4.5,0){3}
\end{pspicture}
\end{center}


La figure ci-dessus représente un triangle OAB. 

Ses mesures, en centimètres, sont données par : OA $= 3$ ; OH $= 3$ ; BH $= 3$.

Le but du problème est le calcul de l'aire de ce triangle, en utilisant deux méthodes successives (les deux parties sont indépendantes).

\medskip

\textbf{Première méthode :}

\medskip

En utilisant uniquement les données et le formulaire, calculer l'aire du triangle.

\medskip

\textbf{Deuxième méthode :}

\medskip

On munit le plan d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité est le centimètre.

On utilisera un quadrillage pour réaliser la figure que l'on complétera tout au long du problème.

Dans ce plan, les points A et B ont pour coordonnées respectives : A(3~;~0) et B$(- 3~;~3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de AB.
\item Montrer que l'équation de la droite (AB) est : $y = - \dfrac12x + \dfrac32$.
\item Écrire une équation de la droite D perpendiculaire à (AB) et passant par O.
\item Calculer les coordonnées du point K, intersection de D et (AB).

(On gardera l'écriture fractionnaire des coordonnées de K.)

Que représente la longueur OK dans le triangle OAB ?
\item Calculer la valeur exacte de OK.

En déduire, en appliquant le formulaire, l'aire du triangle OAB.
\end{enumerate}
\end{document}