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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris septembre 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}

\smallskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $x^2 - 4$.
\item Mettre sous forme de produit de facteurs
l'expression
\[E(x) = x^2 - 4 - (x + 2) (2x - 5).\]
\item Calculer les valeurs numériques de l'expression $E(x)$
si $x$ prend les valeurs numériques suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $x = -2$,
		\item $x = 3$,
		\item $x = \sqrt 3$.
	\end{enumerate}	
\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y = x + 2$ \qquad et \qquad $y = 3 - x.$\end{center}

Déterminer les coordonnées des points où les droites
correspondantes coupent l'axe des abscisses.
\item Utiliser le graphique pour:
	\begin{enumerate}
		\item résoudre l'équation :
		\[\left(\dfrac{x + 2}{3 - x} \right) = 1,\]
		\item résoudre l'inéquation 
		\[(x + 2) (3 - x) < 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A et sa hauteur [AH].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que AB $= 6$ cm, AC $= 8$~cm, calculer BC et AH.
\item On trace le cercle de diamètre [AH]; il coupe (AB) en P et (AC) en R.

Quelle est la nature du quadrilatère APHR ?
\item Démontrer que les triangles ARP et ABC sont semblables.

En comparant PR et BC, déterminer le rapport de similitude de ces deux triangles.
\item La droite (RP) coupe la droite (BC) en S.

Démontrer que
\[\dfrac{\text{HB}}{\text{HC}} = \dfrac{\text{SB}}{\text{SH}}.\]
\end{enumerate}
\end{document}