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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère le polynôme $E(x)$ de la variable $x$ 
\[E(x) = (4x -3)^2 - \left(16x^2 - 9\right) - (3 - 4x) (5x - 2).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire ce polynôme, en l'ordonnant suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire le polynôme $E(x)$ sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.
\item Pour quelles valeurs de $x$ le polynôme $E(x)$ a-t-il une valeur numérique nulle ?

Quelle est la valeur numérique de $E(x)$ pour $x = \sqrt 5$ ?
\item On rapporte le plan à un repère orthonormé (O$x$, O$y$), le centimètre étant pris pour unité.

Construire la représentation graphique $(d)$ de la fonction $y = 4x - 3$, puis placer sur $(d)$ les points A et B qui ont pour abscisses respectives + 1 et $- 1$.
\item Le point A se projette en C sur O$y$ et le point B se projette en D sur O$y$.

Calculer l'ordonnée du point M de l'axe O$y$, défini par la relation
\[5\overline{\text{MC}} + 3\overline{\text{MD}} = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un cercle de centre O, deux diamètres, [AB] et [CD], perpendiculaires, et un point N du cercle, placé sur celui des arcs $\wideparen{\text{AD}}$ qui est inférieur à une demi-circonférence.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle CND ?

Quels rôles les demi-droites [NA) et [NB) jouent-elles dans le triangle CND ?
\item Les droites (CN) et (ND) coupent respectivement (AB) en I et en J.

Comparer les triangles CIO et CND.

En déduire la valeur du produit $\overline{\text{CI}} \times  \overline{\text{CN}}$ en fonction du rayon, $R$, du cercle donné.
\item Calculer CA$'$ en fonction de $R$.

Quelle position (CA) occupe-t-il par rapport au cercle circonscrit au triangle AIN ?

Montrer que le centre de ce cercle appartient à une droite qui ne dépend pas du choix de N sur l'arc $\wideparen{\text{AD}}$.
\end{enumerate}
\end{document}