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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1995}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris--Créteil--Versailles \decofourright\\[7pt]  septembre 1995}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\emph{Les cinq exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


Écrire sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers, le nombre :

\[ A = 6\sqrt{12} - \sqrt{75}.\] 

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme $m + n\sqrt p$, où $m$, $n$, $p$ sont des entiers, le nombre :

\[ B = \left(2\sqrt 3 - 3\sqrt 2\right)^2.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Effectuer,et écrire sous forme d'une fraction irréductible:

\[C = \dfrac37 - \dfrac27 \times \dfrac54.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit $D = (3x + 1)^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 3)(3x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Deux amis possèdent ensemble 70 francs.

Si le premier avait le double de ce qu'il a actuellement, et le second le triple, ils possèderaient ensemble 180 francs.

Combien possèdent-ils chacun ?

\newpage

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\emph{Les deux exercices qui suivent sont indépendants.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
Un sablier conique est représenté ci-contre.

Si la hauteur initiale $h$ du sable est égale à 2~cm, celui-ci met 3~minutes pour s'écouler dans la partie inférieure.

La durée d'écoulement est supposée proportionnelle au volume écoulé.

La hauteur initiale du sable est maintenant égale à 4~cm.

Julie dit : \og Il va mettre 6 minutes pour s'écouler. \fg

Émilie lui répond : \og Je pense qu'il va mettre $24$ minutes pour s'écouler.\fg

Qui a raison ? On justifiera la réponse avec précision.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-2.8)(1.5,2.8)
%\psgrid
\psline(-1.19,1.9)(1.19,-1.9)
\psline(-1.19,-1.9)(1.19,1.9)
\psellipse(0,2)(1.25,0.5)
\psellipticarc(0,-2)(1.25,0.5){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-2)(1.25,0.5){0}{180}
\psellipticarc(0,0.5)(0.35,0.15){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0.5)(0.35,0.15){0}{180}
\uput[l](0,0){S}
\psline[linewidth=0.4pt](0,0)(1.5,0)
\psline[linewidth=0.4pt](0.35,0.5)(1.5,0.5)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.4,0.5)(1.4,0)\uput[r](1.4,0.25){$b$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Le point I est le milieu du segment [AB], et le point M est l'intersection des segments [BD]et [IC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant une configuration de Thalès, montrer que :

$\dfrac{\text{MI}}{\text{MC}} = \dfrac12$.
\item Soit N le symétrique de B par rapport à M.

Démontrer que les droites (IM)et (AN)sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4,2.5)
\pspolygon(0.8,0.2)(3.8,0.2)(3.2,2.2)(0.2,2.2)%DCBA
\psline(0.8,0.2)(3.2,2.2)%DB
\psline(3.8,0.2)(1.7,2.2)%IC
\uput[l](0.2,2.2){A} \uput[r](3.2,2.2){B} \uput[r](3.8,0.2){C}
\uput[l](0.8,0.2){D} \uput[u](1.7,2.2){I} \uput[d](2.4,1.5){M}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

On donne les points: A$(-2~;~6)$, B(6~;~8), C(6~;~0).

Le point M est le milieu du segment [OC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation de la droite (OB) est $y = - x$.
		\item Écrire une équation de la droite parallèle à (OB)passant par M.
		
Montrer qu'elle passe par le milieu P du segment [BC].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à (OB)passant par M.
		\item Écrire une équation de la droite (OA). Puis, calculer les coordonnées du point N, intersection des droites (OA) et $\Delta$.
		\item Préciser la position du point N sur le segment [OA].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}