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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1998}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris--Créteil--Versailles~\decofourright\\[7pt] septembre 1998 }}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer en faisant apparaître les étapes des calculs les expressions $A$,
$B$ et $C$ suivantes.

Les résultats pour $A$ et $B$ seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Le résultat pour $C$ sera donné sous la forme $n\sqrt 2$, où $n$ est un entier.

\[
A = \dfrac57 - \dfrac27 : \left(1 - \dfrac13 \right) ; \quad B = \dfrac{12 \times 10^{-7} \times \left(10^2\right)^3}{36 \times 10^{-2}} ; \quad 
C = \sqrt{75} - 5 \times \sqrt{\dfrac{128}{5}} \times \sqrt{\dfrac{1}{20}}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $D = (2x - 1)^2 - (2x - 1)(x - 6)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 1)(x + 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre l'inéquation suivante puis colorier l'ensemble des solutions sur une droite graduée :

\[7x - 4 < 2(x + 3).\]

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 7,2 cm et AC = 7,8 cm.
\item Calculer BC.
\item Placer le point M du segment [AB) tel que AM $= 5,4$ cm.

Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par M. Cette parallèle coupe la droite (AC) en N.

 Calculer AN.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (0, I, J), l'unité étant le centimètre, on considère les points:
A(3~;~2)\quad B$(-1~;~-2)$\quad C(5~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure sur le papier millimétré.
\item Calculer AB, AC et BC. (Les résultats seront donnés sous forme exacte).
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item D est l'image de C par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

Placer le point D sur la figure précédente.

Calculer les coordonnées du point D.
\item Démontrer que ABCD est un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On considère deux presse-papiers $S_1$ et $S_2$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(10.8,4.8)
%\psgrid
\psline(0,0.3)(2.9,0.3)(3.6,1.9)(1.8,4.3)(2.9,0.3)
\psline(1.8,4.3)(0,0.3)
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0.3)(0.7,1.9)(3.6,1.9)
\psline[linestyle=dashed](0.7,1.9)(2.9,0.3)
\psline[linestyle=dashed](1.8,4.3)(1.8,1.1)
\uput[d](1.8,1.1){K}\uput[u](1.8,4.3){P}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0,0.2)(2.9,0.2) \uput[d](1.45,0.2){9}
%%%%
\psframe(5.7,0.3)(8.4,0.8)
\psline(8.4,0.8)(9.6,2)(9.6,1.5)(8.4,0.3)
\psline(9.6,2)(6.9,2)(5.7,0.8)
\psline[linestyle=dashed](5.7,0.3)(6.9,1.5)(9.6,1.5)
\psline[linestyle=dashed](6.9,1.5)(6.9,2)
\psframe(7.3,1.3)(8.3,4)
\psline(8.3,1.3)(8.65,1.7)(8.65,4.4)(8.3,4)
\psline(8.65,4.4)(7.65,4.4)(7.3,4)
\psline[linestyle=dashed](7.3,1.3)(7.65,1.7)(8.65,1.7)
\psline[linestyle=dashed](7.65,1.7)(7.65,4.4)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(5.7,0.1)(8.4,0.1)\uput[d](7.05,0.1){10}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(8.6,0.3)(9.8,1.5)\uput[r](9.2,0.9){6}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(9.8,1.5)(9.8,2)\uput[r](9.8,1.75){2}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(8.8,1.7)(8.8,4.4)\uput[r](8.8,3.05){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(7.6,4.6)(8.6,4.6)\uput[u](8.1,4.6){3,5}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(7.1,4)(7.5,4.4)\uput[l](7.3,4.25){2}
\end{pspicture}
\end{center}

Le solide $S_1$ est une pyramide régulière de sommet P{}, de hauteur [PK], dont la base est un carré de côté $9$~cm. 

On désigne par $x$ la mesure de la hauteur [PK] exprimée en cm.

Le solide $S_2$ est constitué de deux parallélépipèdes rectangles posés l'un sur l'autre.

L'unité étant le centimètre, les dimensions de l'un des parallélépipèdes sont 2 ; 6 ; 10. 

Les dimensions de l'autre sont $x$ ; 2 ; 3,5.

\bigskip

\textbf{A - Étude de volumes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans une question on se place dans le cas particulier où $x = 8$~cm. 

Calculer le volume $V_1$ du presse-papiers $S_1$ et le volume $V_2$ du presse-papiers $S_2$ ;
\item On se place maintenant dans le cas général où la valeur de $x$ n'est pas donnée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume $V_1$ du presse-papiers $S_1$ est donné par la formule $V_1 = 27x$.
		\item Montrer que le volume $V_2$ du presse-papiers $S_2$ est donné par la formule 
		
$V_2 = 120 + 7x$.
		\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle les deux presse-papiers ont le même volume.
		
Calculer alors ce volume.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B - Étude graphique}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O, I, J).

On utilisera la feuille de papier millimétré en plaçant l'origine O en bas à gauche.

On prendra 1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 1 cm pour dix unités sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer les droites $d_1$ d'équation $y= 27x$, et $d_2$ d'équation $y= 7x + 120$.

On indiquera la méthode utilisée.
\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point M, intersection des droites $d_1$ et $d_2$.(On laissera en évidence les tracés utiles). 

Que représentent les coordonnées du point M pour les objets de la partie A. ?
\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle $V_2 = 190$~cm$^3$ (on laissera en évidence les tracés utiles).

Retrouver ce résultat par le calcul.
\end{enumerate}
\end{document}