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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. É. P{}. C.}
\lfoot{\small{Indochine (Phnom-Penh)}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~B. É. P{}. C. Indochine (Phnom-Penh)~\decofourright\\[7pt]
 septembre 1953}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un rectangle ABCD tel que  AB $= 12$ cm et AD $= 8$ cm ; deux demi-droites issues de A coupent respectivement [BC] en M et CD en N, partageant le rectangle en trois parties: ABM, AMCN, AND.

On pose DN $= x$ et BM $= y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction de $x$ et de $y$ l'aire de chacune des parcelles obtenues.
\item Quelles valeurs doit-on donner à $x$ et à $y$ pour que les trois aires soient égales ?
\item Quelle relation doit-il exister entre $x$ et $y$ pour que l'aire du triangle ABM soit égale à celle du quadrilatère AMCN ?

Représenter dans ces condition la variation de $y$ en fonction de $x$ (on limitera le graphique, $x$ étant une longueur ne pouvant dépasser 1 m).
\item Quelle relation doit-il exister entre $x$ et $y$ pour que l'aire du triangle ABM soit égale à celle du triangle ADN ?

Représenter dans ces conditions la variation de $y$ en fonction de $x$ sur le graphique de la troisième question.

Retrouver sur ce graphique les résultats de la deuxième question.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC tel que l'angle $\widehat{\text{B}}$ soit le double de l'angle $\widehat{\text{C}}$.

On prolonge le côté [AB] d'une longueur BE = BD, D étant le pied de la hauteur issue du sommet A du triangle ABC.

La droite (DE) coupe le côté [AC] au point F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle DFC ? du triangle AFD ? du triangle ADE ?
\item Montrer que le quadrilatère BECF est inscriptible.

Démontrer la relation 
\begin{center}DE $\cdot$ DF = DB $\cdot$ DC.\end{center}
\item Calculer les mesures des angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$.

Calculer les longueurs des côtés du triangle ABC, celle des segments [AD], [BD], [DC] et l'aire des triangles DFC et BDE en fonction de AB $= a$.
\end{enumerate}
\end{document}