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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ de $\R$ vers $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3 - 2x)(2 - x) + 4x(3 - 2x) +4x^2 - 9,\\
g(x)&=&x - 1.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$,
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction rationnelle $h$ définie par
\[h(x) = \dfrac{(x +2)(2x -3)(x -2)}{\left(4 - x^2\right)(x + 1)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $h$ ? Simplifier l'écriture de $h(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) = \sqrt 3$. 

Mettre la solution sous la forme $a + b \sqrt 3$ dans laquelle $a$ et $b$ sont des entiers.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C de coordonnées

\begin{center}A$(1~;~-2)$,\qquad  B(5~;~0),\qquad  C$\left(\dfrac{13}{2}~;~-3\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que (A, B, C, D) est un parallélogramme, calculer les coordonnées du point D.
\item On a trouvé D$\left(\dfrac{5}{2}~;~-5\right)$.

Démontrer que O, A et D sont trois points alignés.
\item Calculer les distances suivantes : $d$(A, B) ; $d$(A, D); $d$(B, D).

Simplifier les résultats obtenus.

En déduire que (A, B, D) est un triangle rectangle. Que peut-on en déduire sur la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item I étant le point d'intersection des droites (AC) et (BD), calculer ses coordonnées.

La parallèle menée par I à la droite (BC) coupe la droite (OB) en J.

Démontrer que J est le milieu du bipoint (O, B).
\item Démontrer que les points A, B, C, D et J sont sur un même cercle de centre I.
\end{enumerate}
\end{document}