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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$, l'inéquation,

\[\dfrac{2x - 3}{3} - \dfrac{4(x - 1)}{5} \geqslant - 1.\]

On déterminera,

	\begin{enumerate}
		\item l'ensemble $S$ des solutions dans $\R$.
		\item l'ensemble $E$ des entiers naturels solutions de cette inéquation.
		\item l'ensemble $F$ des rationnels solutions strictement compris entre $- 5$ et $- 3$ et de dénominateur $3$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ la fonction polynôme définie, pour tout $x$ réel, par
\[p(x) = 3ax^2 + 2ax - (5a - 2).\]

Calculer $p(-2)$ ; puis trouver la valeur de $a$ pour que $pp(-2) = 0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ l'application, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[f(x) = (3x - 1)(2 - 7x).\]

Écrire $f(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
		\item Soit $q$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$, définie par
 \[q(x) = \dfrac{-21x^2 + 13x - 2}{(2 - 3x)(3x - 1)}.\]
 
Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $q$ ? 

Donner une écriture simplifiée de $q(x)$, pour tout $x$
appartenant à $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Une personne à qui l'on demandait son âge a répondu :

\og Si je vis jusqu'à $100$ ans, il me reste encore à vivre les $\dfrac32$ de l'âge que j'ai \fg.

Quel est l'âge de cette personne ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

Placer les points A, B et C définis par
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -2\vect{\imath} + \vect{\jmath},\qquad  \vect{\text{OB}} = 5\vect{\imath}$\quad et \quad $\vect{\text{OC}} = \vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point I, milieu de (A, C).
\item Calculer les coordonnées du point D tel que I soit le milieu de (B, D).
\item Calculer les distances AB, AC et BC.

Le triangle (A, B, C) est-il rectangle ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le plan, le centimètre étant pris pour unité de longueur, on considère un cercle 
$\mathcal{C}$ de centre I, de rayon 4, et un diamètre [AB] de ce cercle.

On prend sur ce cercle un point C tel que AC $= 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?

Quelle est la nature du triangle (A, C, I) ?

Justifier les réponses.

Quel est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{CAI}}$ ?
\item On projette orthogonalement C en O sur la droite (AB).

Calculer les distances AD et CO.
\item La tangente en B au cercle $\mathcal{C}$ coupe la droite (AC) en T.

Quelle est la nature du triangle (A, T, B) ?

Justifier la réponse.

Calculer les distances AT et BT.
\end{enumerate}
\end{document}