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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y + \phantom{2}x - 1&=&0,\\
y + 2x - 4			&=&0.
\end{array}\right.\]
 Échelle 1~cm par unité.
\item Contrôler les résultats obtenus en déterminant par le calcul les coordonnées du point de rencontre des deux droites.
\item On désigne par A et B les points où la première droite coupe les axes O$x$ et O$y$ et par C et D les points où la deuxième droite coupe les mêmes axes.

Déterminer l'aire du quadrilatère ABCD.
\item Par l'origine O, on mène la perpendiculaire (OH) à la droite d'équation $y + 2x - 4 = 0$.

Former l'équation de cette droite (OH).
\item Déterminer les coordonnées de H et calculer la longueur du segment [OH].

Vérifier graphiquement le résultat.
\item Montrer que cette longueur est calculable sans avoir traité la 4\up{e} question.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer une corde [BA] de longueur égale au côté du carré inscrit, puis une corde [AC] égale au côté du triangle équilatéral inscrit (O est à l'intérieur de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$).

Justifier les tracés.
\item Tracer [BC] et donner la valeur des angles du triangle BAC.
\item Calculer la longueur de la hauteur [AH] du triangle ABC puis la longueur du côté [BC] et l'aire de ce triangle en fonction de $R$.
\item Prolonger [AH] jusqu'à son intersection A$'$ avec le cercle $\mathcal{C}$.

Quelle est la nature du quadrilatère ABA$'$C ?

Évaluer la longueur de ses côtés et son aire en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}