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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Poitiers juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression 
\[\dfrac{3x^2 - 4}{4 - x^2} + \dfrac{4}{2 - x} - \dfrac{2}{x + 2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item La mettre sous sa forme la plus simple possible.
		\item Calculer sa valeur numérique si $x = - \dfrac12 ;\: x = - 2 \:;\:
x = \sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\item On pose $Y = 3x$ et $y =2- x$.

Représenter les variations des fonctions $Y$ et $y$, l'unité
de longueur imposée sur les axes étant $2$~cm.

Calculer les coordonnées du point d'intersection A, de ces droites et vérifier le résultat sur le graphique.
\item Tracer, par rapport aux mêmes axes de coordonnées, la droite d'équation $z = - \dfrac x3$.

Cette droite coupe en B la droite d'équation $y = 2 - x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point B.
		\item Montrer que le triangle AOB est rectangle en O.
		\item Calculer la longueur de ses côtés en cm et son aire en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un demi-cercle de centre O limité par le diamètre [AB].

La mesure de [AB] est $20$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par le milieu H de [OB], on mène la perpendiculaire à (AB), qui coupe le demi-cercle en C.

Calculer les mesures en cm des segments [CH], [CA], [CB] et les valeurs en degrés des angles du triangle ABC.
\item Par un point M du segment [AH], on mène la perpendiculaire à [AB], qui coupe (AC) en P et le prolongement de [CB] en R.

Comparer les triangles AMP et RMB et démontrer que 
\begin{center}MP $\times$ MR = MA $\times$ MB.\end{center}
\item On désigne par $x$ la mesure de [AM] en cm.

Calculer, en fonction de $x$, les mesures des segments [MP] et [MR].

Trouver $x$ pour que P soit le milieu de [MR].
\item Les deux droites (BP) et (AR)) se coupent en D.

Sur quelle ligne se déplace D lorsque M décrit le segment [AH] ?

Préciser les positions limites de D.

Calculer la tangente trigonométrique de l'angle $\widehat{\text{DBA}}$ lorsque P est le milieu de [MR].
\end{enumerate}
\end{document}