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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Poitiers juin 1959}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression

\[E(x) = \dfrac{6x - 6- \dfrac34x(2x - 2)}{4 - 4x^2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le numérateur de E sous la forme d'un produit de facteurs; faire de même pour le dénominateur, puis simplifier E.
\item Déterminer x pour que E = 1.
\item Soient $(D)$ et $(D')$ les droites représentatives des fonctions

\begin{center}$y = - \dfrac34 x + 3$ \qquad et \qquad $y = -2x - 2.$\end{center}
Tracer ces droites et calculer les coordonnées de leur point d'intersection A.

Pourquoi retrouve-t-on le nombre obtenu à la question 2. ?

L'unité de longueur imposée sur les axes est le centimètre.
\item Soit B la projection orthogonale du point A sur l'axe $x'\text{O}x$.

Les droites $(D)$ et $(D')$ coupent respectivement l'axe $x'\text{O}x$ aux points C et E.

Calculer $\overline{\text{EB}},\: \overline{\text{EC}}$
et la longueur du segment [AC].

Prouver que [AE) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On construit en A et B les deux tangentes A$x$ et B$y$ et l'on prend un point M sur le demi-cercle.

(AM) coupe B$y$ en P et (BM) coupe A$x$ en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les deux triangles AQB et APB sont semblables et en déduire la relation 
\begin{center}AQ $\cdot$ BP $= 4 R^2$.\end{center}
\item Dans le cas où l'angle $\widehat{\text{MAB}}$ vaut $60\degres$, calculer, en fonction de $R$, la longueur des côtés et celles des diagonales du trapèze AQPB.
\item On considère maintenant que BM $= R \sqrt 3$.

On mène en M la perpendiculaire au plan du demi-cercle de diamètre [AB].

Soit C un point de cette perpendiculaire tel que MC = MA.

Calculer CB et CP en fonction de $R$.

L'angle $\widehat{\text{PCB}}$ est-il un angle droit ?

\end{enumerate}
\end{document}