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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions 
\begin{center}$\dfrac{x - x^2}{1 - x^2}$\quad  et \quad $\dfrac{1 + x}{1 + 2x + x^2}$.\end{center}
\item On donne l'expression

\[E(x) = \dfrac{x - x^2}{1 - x^2} + \dfrac{1 + x}{1 + 2x + x^2} - \dfrac{1 - 2x}{1 - x}.\]
Calculer $E(x)$ et trouver sa valeur numérique pour $x = 0$, puis pour $x = -\dfrac12$ puis pour $x = \sqrt 2$.

(Dans ce dernier cas, donner le résultat sans radical au dénominateur.)
\item Résoudre l'équation $E(x) = - 2$.
\item Calculer 
\[\dfrac{x - x^2}{1 - x^2} : \dfrac{1 + x}{1 + 2x + x^2}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle équilatéral ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le cercle tangent en B à (AB) et en C à (AC).

Démontrer que le rayon de ce cercle est égal au rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
\item Soit Q un point quelconque de l'arc $\widearc{\text{BC}}$ situé à l'intérieur du triangle ABC.

Soient D et E les points d'intersection de (BQ) avec (AC) et de (CQ) avec (AB).

Comparer les triangles AEC et CBO.
\item Démontrer que les quatre points A, E, Q, D sont sur un même cercle.
\item En déduire la relation 
\begin{center}CQ $\cdot$ CE = CD $\cdot$ CA.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}