\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Poitiers juin 1964},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

On donne les expressions 
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(2x + 3)^2 - (x + 4)^2,\\
B(x)&=&x^3 - 2x^2 + x.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Développer et ordonner l'expression $A(x)$, puis résoudre l'équation

\[3x^2 + 4x - 7 = 0.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier la fraction rationnelle $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F(x) = \dfrac 1x$ ?
	\end{enumerate}
\item Soient $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ les graphes des fonctions 
\begin{center}$y = 3x +7$\qquad  et\qquad  $y = x - 1$.\end{center}

$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupent en P et coupent respectivement $y'y$ en A et B.

Calculer les coordonnées des points A , B et P et celles du milieu, I, de [BP].

Le graphique permet-il de vérifier la réponse à la question b. du 3. ?

Trouver l'équation de la droite (OI).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un demi-cercle. de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et de centre O et un point P de [AB], extérieur au cercle, tel que PA $= 2 R$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Par P, mener la tangente PC, qui touche le demi-cercle en C.

Indiquer nettement sur la figure la construction utilisée, sans donner d'explication.

Calculer PC en fonction de $R$.
\item En A et B, on mène les tangentes A$x$ et B$y$ au demi-cercle, qui coupent PC respectivement en D et E.

Démontrer que le quadrilatère OCEB est inscriptible.

En déduire que 
\begin{center}PC $\cdot$ PE $= 12 R^2$,\end{center}
puis calculer PE en fonction de $R$.
\item Démontrer que le triangle DOE est rectangle.

En déduire que
\begin{center}AD $\cdot$ BE $= R^2$,\end{center}
\item Établir la similitude des triangles PDO et POE et montrer que

\begin{center}PO$^2 = \overline{\text{PD}} \cdot \overline{\text{PE}}$.\end{center}

Montrer alors que (PO) est tangente au cercle circonscrit au triangle DOE.
\end{enumerate}
\end{document}