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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(3 - x)^2 - 2(x - 3)(x - 5) - \left(2x^2 - 18\right),\\
B(x)&=&2x^2 - 16x + 32
\end{array}\]

\item On considère les expressions :
\begin{center}$F_1(x) = \dfrac{A(x)}{x - 3}$\qquad et \qquad $F_2(x) = \dfrac{B(x)}{4 - x}$\end{center}

On désignera par $F'_1(x)$ et $F'_2(x)$ les expressions simplifiées de $F_1(x)$ et $F_2(x)$.

Résoudre l'équation :
\[F'_1(x) + F'_2(x) = 0.\]
\item Représenter sur un même graphique les fonctions suivantes :
\begin{center}$y = 3x - 1$, \qquad et \qquad $y = 8 - 2x$\end{center}

Le point M de coordonnées $(1,8~;~4,4)$ appartient-il à l'une ou aux deux droites tracées ?

Justifier la réponse.

Le graphique peut-il donner la solution de cette question ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit C le milieu d'un demi-cercle donné de centre O et de diamètre [AB] et M un point appartenant à  l'arc $\wideparen{\text{CB}}$.

Le segment [AM] coupe (OC) en D.

On désigne par I la projection orthogonale de C sur la droite (AM).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, quel que soit le point M, les quatre points C, A, O et I appartiennent à un cercle fixe, dont on précisera le centre.
\item Quelle est la valeur de l'angle convexe (ou saillant) $\widehat{\text{COM}}$ et que 
peut-on dire de (OI) pour le triangle COM ?
\item Réciproquement, M étant toujours un point de l'arc $\wideparen{\text{CB}}$, on désigne par K le point d'intersection de la bissectrice de l'angle convexe (ou saillant) $\widehat{\text{COM}}$ avec la droite (AM).

Ce point K appartient-il au cercle défini dans la question 1. ?

Justifier votre réponse.
\item  Montrer que le quadrilatère ODMB est inscriptible et que le produit $\overline{\text{AD}} \times \overline{\text{AM}}$ est constant lorsque M se déplace sur l'arc $\wideparen{\text{CB}}$.
\item Dans le cas où $\widehat{\text{MAB}} = 30\degres$, calculer les longueurs AD, AM et MB en fonction de $R$, rayon du cercle (O).
\end{enumerate}
\end{document}