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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Poitiers juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit de facteurs du premier degré les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (x - 2) + 3x - 6- x^2(x - 2),\\
B(x) &=& 2x^2 - 8 \quad\text{et}\\
A(x) &-& B(x)
\end{array}\]

\item  Résoudre l'équation 
\[A(x) - B(x) = 0.\]
\item Simplifier la fraction $F(x)  = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item Soit deux axes perpendiculaires, sur lesquels on choisit la même unité.
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite d'équation $y =- \dfrac12x + 1$.
		
Elle coupe les axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ respectivement aux points A et B, dont on précisera les coordonnées.
		\item Soit C le point de coordonnées $(1~;~- 2)$.
		
Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle ABC isocèle tel que BC $= 6$~cm et AB = AC $= 9$~cm.

Soit D le point du segment [AB] tel que BD $= 4$~cm.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABC et CBD sont semblables.

En déduire la nature du triangle CBD.
\item En déduire que le cercle circonscrit au triangle ADC est tangent en C à (BC).
\item On trace les hauteurs [AH] et [CK] du triangle ABC.

Montrer que l'orthocentre du triangle ABC est le centre du cercle circonscrit au triangle DBC.

Calculer CK et le rayon de ce cercle.
\item Calculer la puissance du point A par rapport au cercle circonscrit au triangle DBC, puis celle du point B et celle du point H par rapport à ce même cercle.
\end{enumerate}
\end{document}