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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(3 - 2x)(2x + 1) - (2x - 3)(x + 2),\\
B(x)&=&(x + 1)(4x + 5) - (x + 1) 
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser ces deux polynômes.
\item Simplifier la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$
après avoir indiqué son domaine de définition.
\item Pour quelles valeurs de x cette fraction est-elle 
	\begin{enumerate}
		\item nulle ;
		\item égale à $+ 1$ ?
\end{enumerate}
\item Représenter sur un même graphique les fonctions
\begin{center}$y_1 = - 2x + 3$\quad et\quad  $y_2 = \dfrac x2 - 1.$\end{center}

(prendre le centimètre comme unité sur chaque axe.)

Que peut-on dire des deux droites représentatives de ces fonctions ?
\item Calculer les coordonnées du point commun à ces deux droites et l'aire du triangle qu'elles forment avec l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On place, sur une droite $x'x$, quatre points A, B, C et D, tels que AB = BC = CD $= 4$~cm.

Soit $(\Delta)$ la perpendiculaire à $x'x$ en B, P un point de $(\Delta)$ tel que BP = AB et H la projection orthogonale du point C sur (PD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère PBCH est inscriptible dans un cercle $(C)$ dont on calculera le rayon.
\item Montrer que la droite (AP) est tangente au cercle $(C)$.
\item Évaluer l'angle $\widehat{\text{PHB}}$.

En déduire que (HB) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{PHC}}$.
\item Calculer la longueur du segment [PD].
\item Quelle est la puissance du point D par rapport au cercle $(C)$ ?

En déduire les longueurs des segments [DH] et [PH].
\item Montrer que les triangles PBD et CHD sont semblables et calculer leur rapport de similitude.

Calculer HC.
\end{enumerate}
\end{document}