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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne l'expression suivante:
\[E(x) = (x - 2) (5x + 1) + (5x + 1)(3x + 8) - 25x^2  + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les opérations indiquées et donner le résultat sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre l'expression $E(x)$ sous la forme d'un produit de deux binômes du premier degré.
\item Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x) = 0$.

Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x) = 7$.
\item Dans un repère orthonormé (l'unité étant le centimètre) construire les graphiques, $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des fonctions suivantes :
\begin{center}$y_1 = 5x + 1$ \qquad  et \qquad $y_2= - x + 7$.\end{center}

$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ coupent l'axe des $x$ respectivement aux points A et B et se coupent en un point P.

Après avoir calculé les coordonnées des points A, B et P, évaluer l'aire du triangle (APB).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $=2 R$, la demi- droite [E$x$) tangente en B, la corde[AM] faisant avec[AB] un angle de $30\degres$.

La droite (AM) coupe [B$x$) en Q.

Le point N désignant le milieu de l'arc $\wideparen{\text{AB}}$, la droite (AN) coupe [B$x$) en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur des segments [AM], [MB], [AN], [AP] et [BP] en fonction de $R$.
\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{NMA}}$ est égal à l'angle $\widehat{\text{APR}}$.

En déduire que la quadrilatère (MNPQ) est inscriptible.
\item En utilisant cette propriété du quadrilatère (MNPQ), calculer la longueur de [AQ].

Calculer ensuite celles de [BQ] et [PQ].
\item Démontrer que dans le cercle de diamètre [AB] la corde [MN] est le côté d'un polygone régulier convexe inscrit, dont on précisera le nombre des côtés.
\end{enumerate}
\end{document}