\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Poitiers juin 1973},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{juin 1973}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit les fonctions polynômes définies dans $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(5x - 4)^2- (1 - 3x)^2\:\: \text{et}\\
g(x)&=&4x^2 + 9 - 12x + 3(2x - 3)(2 - x) - 2(2x - 3).
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de polynômes réduits et ordonnés.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de polynômes du premier degré.
\item Déterminer $f(0),\: f\left(\sqrt 3\right),\: g(0)$ et $g\left(\sqrt 3\right)$.
\item Trouver l'ensemble des solutions de l'équation définie par
\[x \in \R :\: f(x) = g(x).\]
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ sur $\R$ définie par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le domaine (ou ensemble) de définition, 
		$\mathcal{D}$, de $h$.
		\item Soit $k$ la fonction rationnelle de $\R$ sur $\R$ définie par

\[k(x) = \dfrac{8x - 5}{1 - x}.\]

Quel est son domaine de définition, $\mathcal{D}’$ ?

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $h(x) = k(x)$ ?
		\item Résoudre, dans $\mathcal{D}$,, les équations
\begin{center}$h(x) = 0$\quad  et\quad $h(x) = - 14$.\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B et C définis par 
\begin{center}$\vect{\text{OA}} =  - 2\vect{\imath} + 5\vect{\jmath},\quad \vect{\text{OB}} =  5\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$\quad $\vect{\text{OC}} =  7\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées de A, de B et de C.

Quelles  les sont les coordonnées de M, milieu du bipoint (A, C) ainsi que celles du milieu de, (O, B) ?

Montrer que (O, A, B, C) est un parallélogramme.
\item Calculer les distances $d$(O, B), $d$(O, C) et $d$(B, C).

Démontrer que 1e triangle (OBC) est rectangle isocèle.
\item Soit H la projection orthogonale du point B sur (OC).

Montrer que H est le milieu de (O, C).

Donner ses coordonnées.
\item Montrer que les droites (MH) et (BC) sont parallèles.
\item Les droites (MH) et (AB) sont sécantes en I.

Montrer  que I est le. milieu de (A, B).
\end{enumerate}
\end{document}