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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions polynômes suivantes, définies par
et
\[\begin{array}{l l c l}
f :& \R &\to \R,\\
&x \longmapsto&f(x) = 36x^2 - 24x\\
g :& \R &\to \R,\\
&x&\longmapsto&g(x) = 9x^2 + 4 - 12x
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire chacune de ces fonctions polynômes sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Quels sont les ensembles de définition $\mathcal{D}_f$ et $\mathcal{D}_g$, des fonctions $f$ et $g$ ?
\item Résoudre dans $\R$ les équations $f(x) = 0$ et $g(x) = 1$.
\item Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles des applications ou
des bijections ? Expliquer.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par

\[\begin{array}{l l c l}
h :& \R &\to \R,\\
&x&\longmapsto&h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}.
\end{array}\]

Quel est son ensemble de définition $\mathcal{D}_h$ ?
\item Démontrer que $h(x)$ est égal à $h'(x) = \dfrac{3x - 2}{-12x}$ pour
tout élément $x$ de $\mathcal{D}_h$.

Calculer $h(2)$, puis $h\left(- \dfrac16\right)$. 
\item Résoudre dans $\mathcal{D}_h$ l'équation $h(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C définis par 
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = - \vect{\imath} + \vect{\jmath}, \quad  \vect{\text{OB}} = 3\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$ \quad et\quad $\vect{\text{OC}} = 2\vect{\imath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C.

Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB].
\item Calculer les coordonnées du point D tel que le quadruplet (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
\item Montrer que les droites (CM) et (AB) sont orthogonales et que (MC) est la médiatrice du segment [AB].

Calculer $d$(B, C).

En déduire $d$(A, C) et $d$(A, D).
\item Calculer les coordonnées du point E symétrique de C par rapport à M.

Montrer que le quadruplet (A, E, B, C) est un carré.
\item Montrer que les points D, O et B sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}