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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

Soit les deux applications $f$ et $g$ définies dans $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& x^2 + 4 + 4x,\\
g(x) &=& (2x  - 1)^2 - (x - 3)^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Soit $N(x) = f(x) - 2 g(x)$  et $D(x) = f(x) + g(x)$.

Factoriser $N(x)$ et $D(x)$.

\item Résoudre les équations:
\begin{center}$N(x) = 0$\qquad  et \qquad $D(x) = 0$. \end{center}
\item On considère la fonction rationnelle $p$ définie dans $\R$ par: 
\[ p(x) = \dfrac{N(x)}{D(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est son domaine de définition $\mathcal{D}$ ? 
		\item Montrer que $p(x)$ peut s'écrire dans $\mathcal{D}$ : $\dfrac{5(2 - x)}{2(2x - 1)}$.
		\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ les équations 
\[p(x) = 1 \quad \text{et}\quad  p(x) = - 2.\]
		\item Calculer $p\left(\sqrt 2\right)$ et donner le résultat sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} on donne le points 
\begin{center}A$(-2~;~7)$, \quad B$(- 5~;~-2)$, \quad C$(7~;~-2)$, \quad D(1~;~4)\end{center}

\smallskip

En déduire que les points A, D, C sont alignés. Montrer que le triangle (A, D, B) est rectangle en D.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AD}},\:\vect{\text{AC}},\: \vect{\text{BD}}$.
\item Déterminer la fonction affine représentée graphiquement par la droite (BD).

La parallèle à l'axe des ordonnées passant par A coupe (BD) au point H.

Quelles sont les coordonnées de H ?

Montrer que H est le milieu de BD.
\item Trouver les coordonnées $(x~;~y)$ du point G tel que: 
\[3\vect{\text{OG}} = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}. \]
\item I est le point d'abscisse(+ 1) sur la droite (HG).

Quelle est l'ordonnée de I ?

Montrer que I est le centre du cercle passant par les points A, B, et C.
\end{enumerate}

\end{document}