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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On rappelle que l'écriture $|a|$ représente la valeur
absolue de $a$ ; pour tout nombre réel $a$

\[\begin{array}{l c l}
\text{si}\:a \geqslant 0, &\text{alors}& |a| = a.\\
\text{si}\:a < 0,&\text{alors}& |a| = - a.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont les nombres réels $x$ solutions de
l'équation
\[|x - 4| = x - 4 ?\]
		\item Quels sont les nombres réels $x$ solutions de l'équation
\[|x - 4| = -x + 4 ?\]
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$.
\[|x - 4|^22 = (x - 4)^2.\]
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation
		\[|x - 4| = 2.\]
	\end{enumerate}
\item  Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f(x) = |x - 4|.\]

Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[g(x) = 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement les applications $f$ et $g$
dans un plan muni d'un repère \Oij.
		\item Expliquer comment la représentation graphique
précédente permet de retrouver le résultat de la question 1. d.
		\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par 
		\[h(x) = \dfrac{x^2 - 8x + 16}{|x - 4|}.\]

Pour quels nombres réels $x$ a-t-on $h(x) = f(x)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B, C et D définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -6\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}$, \quad  $\vect{\text{OB}} = \vect{\imath}$, \quad $\vect{\text{OC}} = -6\vect{\imath} + 7\vect{\jmath}$, \quad $\vect{\text{OD}} = -7\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$\end{center} OB =1
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées (ou composantes) de $\vect{\text{AD}},\: \vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Montrer que les points B, D et C sont alignés et
que les vecteurs $\vect{\text{AD}} et \vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux.
\item Quelles sont les coordonnées du point E, image du
point C. dans la translation de vecteur $\vect{\text{DA}}$ ?
\item Montrer que le quadruplet (A, E, C, D) est un carré.
\item Soit M le milieu du bipoint (A, C) et N la projection orthogonale de D sur la droite (AB).

Montrer que les points A, M, O et N appartiennent à un même cercle.

Quelles sont Ics coordonnées de son centre S ? Quel est son rayon?
\end{enumerate}
\end{document}