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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

(Les parties A et B sont indépendantes).

\medskip

\textbf{Exercice A -}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les applications de $\R$ dans $\R$ définies de la façon suivante :
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x + 5)^2- (x + 3)^2\\
g(x)&=&(x + 2)(2x - 1) - (x + 2)(x - 5)
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle suivante:
\[
x \longmapsto h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$.
		\item Démontrer que dans $\mathcal{D}$, \: $h(x)$ peut s'écrire $\dfrac{3x+8}{x+4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice B -}

\medskip

Soit $F$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par les conditions:
\[\begin{array}{l c l c l}
F(x) &= &2x + 2 &\text{si}& x \geqslant 0\\
F(x) &=&2& \text{si}& x < 0
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire la représentation graphique de l'application $F$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (l'unité de longueur est deux centimètres).
\item Résoudre dans $\R$ les trois équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = 3$.
		\item $F(x) = -2$.
		\item $F(x) = 2$.
	\end{enumerate}
\item Utiliser la représentation graphique de $F$ pour résoudre les trois équations précédentes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

(Les exercices A et B sont indépendants).

\medskip

\textbf{Exercice A -}

Le plan est rapporté à un repère \Oij.

Soit A, B et C trois points définis de la façon suivante :
\begin{center} $\vect{\text{OA}} = -2\vect{\imath} + \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$, \quad  et \quad $\vect{\text{OC}} = 4\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$. \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadruplet (O, A, B, C) est un parallélogramme.
\item Soit D l'image du point C dans la translation de vecteur AB. Quelles sont les coordonnées du point D ?
\item Soit E l'image du point 0 dans III symétrie de centre A Quelles sont les coordonnées du point E?
\item Démontrer que les points E, B et D sont alignés.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice B -}

Dans un plan, on considère un rectangle (A, B, C, D) tel que les distances AB = DC $= 8$ et AD = BC $= 2$. (L'unité de longueur choisie est le centimètre).

Soit E le point de la droite (BC) tel que la distance CE $= 6$ (le point C est situé entre B et E).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance DE.
\item Soit O le milieu du bipoint (A, B).

Calculer les distances OD et OE ; en déduire que le triangle (O, D, E) est rectangle en O.
\item Soit I le centre du cercle de diamètre [D, E].

Démontrer que ce cercle passe par O et que la droite (AB) est tangente à ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}