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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1986}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer (les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible ou de nombre entier) :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
$7 - 2 \times 4 = $&$\dfrac34 \times 120 =$\\
$\dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{20} =$& $\dfrac23 \times \dfrac65 = $\\
$\dfrac23 + \dfrac35 =$&$2 + \dfrac12$\\
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans chaque ligne, cocher d'une croix la bonne réponse (attention aux réponses au hasard : 1 point en moins pour chaque mauvaise réponse).

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\footnotesize l'expression}{\footnotesize est égale à}&0&2&$\sqrt 2$&$2\sqrt 2$&$4\sqrt 2$\\ \hline
$\sqrt 2 + \sqrt 2$											&&&&&\\ \hline
$\sqrt 8$													&&&&&\\ \hline
$\sqrt 2 \times \sqrt 2$									&&&&&\\ \hline
$\dfrac{2}{\sqrt 2}$										&&&&&\\ \hline
$\dfrac{\sqrt{200}}{5}$										&&&&&\\ \hline
$\sqrt{50} - \sqrt{18}$										&&&&&\\ \hline
$\left(\sqrt 2 + 1 \right)^2 - \left(\sqrt 2 - 1 \right)^2$	&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ chacune des trois équations suivantes :

$\dfrac14 x = 13$

\smallskip

$\dfrac x3 = x - 10$

\smallskip

$5(y - 3) = 4 -(2y + 7).$

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On sait que la largeur d'un rectangle est le tiers de sa longueur et qu'elle mesure 10~cm de moins que la longueur.

Quelles sont les dimensions du rectangle ?

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\bigskip

La figure ci-dessous est la représentation en
perspective cavalière d'un cube de 3 cm d'arête .

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.6,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(2.2,2.2)
\psline(2.2,0.2)(3.2,1.1)(3.2,3.1)(2.2,2.2)
\psline(3.2,3.1)(1.2,3.1)(0.2,2.2)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,1.1)(3.2,1.1)
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.1)(1.2,3.1)
\uput[l](0.2,2.2){A} \uput[u](1.2,3.1){B} \uput[u](3.2,3.1){C} \uput[dr](2.2,2.2){D}
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[ul](1.2,1.1){F} \uput[r](3.2,1.1){G} \uput[dr](2.2,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire cette figure exactement, avec les mêmes mesures.
\item Le triangle CGH est rectangle en G et isocèle. Pourquoi?
\item Construire en vraie grandeur le triangle CGH.
\item Calculer la valeur exacte de la distance CH.
\item M est le milieu de [GH]. Calculer la mesure en degres de l'angle $\widehat{\text{GCM}}$. (Donner le résultat sous forme d'un encadrement, la valeur étant encadrée à
$1\degres$ près.)
\item Quelle fraction de l'aire totale du cube représente l'aire d'une face du cube ?

Exprimer cette fraction en pourcentage.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Statistiques}

\bigskip

Au cours d'une semaine, dans un magasin, on a relevé le montant des ventes de la journée :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Semaine du 10/02 au15/02&Montant des ventes (en Francs)&Angles (en degrés)&Pourcentages du montant total des ventes\\ \hline
Lundi					&900		&		& \\ \hline
Mardi					&\np{1800}	&36		&\\ \hline
Mercredi				&\np{3000}	&		&\\ \hline
Jeudi					&\np{2700}	&		&\\ \hline
Vendredi				&			&		&20\\ \hline
Samedi					&\np{6000}	&		&\\ \hline
						&		&360	&100\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessus.
\item Représenter par un diagramme à secteurs circulaires, la répartition hebdomadaire des ventes précédentes.

(Prendre un disque de rayon 5 cm.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on a tracé les droites $(\Delta)$ d'équation: $y = \sqrt 2  x$ et $\left(\Delta'\right)$ d'équation: $y = x$.

On a aussi placé le point C de $(\Delta)$ d'ordonnée $y_{\text{C}} = 10$ et les points L, A, U, R, 1, N, comme l'indique la figure ci-dessous.

La figure ci-dessous est à reproduire exactement sur la feuille de papier millimétré.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(9,11)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,7.071)(0,7.071)
\psline[linestyle=dashed](7.071,7.071)(7.071,0)
\psline[linewidth=1.25pt](7.071,7.071)(7.071,10)
\psline[linewidth=1.25pt](7.071,7.071)(5,7.071)
\psline[linestyle=dashed](7.071,10)(0,10)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.5}{9}{1.41421 x mul}
\rput{58}(2,3.15){\blue $y = x \sqrt 2$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.5}{9}{x}\rput{45}(3,2.75){\red $y = x$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](5,0){I}\uput[d](7.071,0){L}\uput[dr](7.071,7.071){A}\uput[ul](5,7.071){R}
\uput[ul](7.071,10){C}\uput[dr](7.3,10.6){\blue$(\Delta)$}\uput[dr](8.,8){\red $\left(\Delta'\right)$}\uput[l](0,10){10}\uput[ur](0,10){U}\uput[l](0,7.071){N}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'abscisse $x_{\text{C}}$ de C est égale à $5\sqrt 2$ ; écrire les coordonnées du point C.
		\item Montrer que l'ordonnée $y_{\text{A}}$ de A est égale à $5\sqrt 2$.
		\item Déterminer le couple $\left(x_{\text{R}}~;~y_{\text{R}}\right)$ des coordonnées
de R.
	\end{enumerate}	
\item Comparer les aires des rectangles CLOU et NOIR.
\item Soit C$_1$ le point symétrique de C par rapport à $\left(\Delta'\right)$. 

Construire C$_1$ ; quelle position occupe ce point par rapport à N et R ? Justifier la réponse.
\item Soit U$_1$ le point de coordonnées (10~;~0).

Quelle est la nature du quadrilatère OU$_1$C$_1$N ?

Si T est le centre de CLOU et T$_1$ celui de OU$_1$C$_1$N, comment peut-on construire T$_1$ à partir de T ?
\end{enumerate}
\end{document}