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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction
irréductible ou d'un nombre entier :

\[3\left(\dfrac13 - \dfrac14\right)\:;\qquad \dfrac{15+5}{10 + 5}\:;\qquad |1 - 2 \times 3| + 4\:;\qquad
\sqrt{25 - 9}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $f(x) = (4x - 3)^2 - (x - 3)^2$ définie dans $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$x$ est un nombre réel strictement supérieur à 4 et exprime une longueur en cm. 

Les aires seront exprimées en cm$^2$ et en fonction de $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'aire $A(x)$ d'un carré dont la longueur du côté est $x$.
\item Exprimer l'aire $B(x)$ d'un rectangle dont la longueur est $(x + 8)$ et la largeur $(x - 4)$.
\item Trouver la valeur de $x$ de façon que l'aire $A(x)$ du carré soit égale à l'aire $B(x)$ du rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC rectangle en A tel que
AB $= 6$ cm et BC $= 9$ cm.
\item Un point M du segment [AB] est tel que AM $= 2$ cm. Par M, on trace la droite (D) parallèle à (AC) qui coupe le segment [BC] en N.

Calculer la distance CN.
\item Calculer la valeur exacte de $\cos \widehat{\text{B}}$, puis en déduire la
valeur approchée de $\widehat{\text{B}}$ à $1\degres$ près par défaut.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure (ci-dessous) est le dessin, en perspective cavalière, d'un parallélépipède rectangle de $8$~cm de longueur.

La face ABCD est un carré de $4$~cm de côté et de centre O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances BD, DE et EB (on donnera les valeurs exactes).
\item Quelle est la nature du triangle EBD ?
\item Pourquoi la droite (EO) est-elle perpendiculaire à la droite
(BD)?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.8,5)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(5.6,2.8)%HDAE
\psline(5.6,0.2)(6.8,1.5)(6.8,4.1)(5.6,2.8)%DCBA
\psline(6.8,4.1)(1.4,4.1)(0.2,2.8)%BFE
\pspolygon(5.6,0.2)(6.8,4.1)(0.2,2.8)%DBE
\psline(5.6,2.8)(6.8,1.5)%AC
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.8)(6.2,2.15)%EO
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.4,1.5)(6.8,1.5)%HGC
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.5)(1.4,4.1)%GF
\uput[ul](5.6,2.8){A} \uput[u](6.8,4.1){B} \uput[dr](6.8,1.5){C}
\uput[dr](5.6,0.2){D} \uput[l](0.2,2.8){E} \uput[u](1.4,4.1){F}
\uput[ur](1.4,1.5){G} \uput[dl](0.2,0.2){H} \uput[r](6.2,2.15){O}
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\psline(1.6,1.5)(1.43,1.35)(1.28,1.35)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

L'unité choisie est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $D_1$, et $D_2$ d'équations :

\begin{center}\begin{tabular}{l l l}
$2x - y + 7 = 0$& pour &$D_1$\\
$x +2y - 9 = 0 $&pour &$D_2$\\
\end{tabular}\end{center}

Les droites $D_1$ et $D_2$ sont sécantes (on ne demande pas de le démontrer).

Donner, par lecture graphique, les coordonnées de leur point d'intersection.
\item Placer le point B de la droite $D_1$ d'ordonnée 1.

Calculer l'abscisse $x$ de ce point.

Placer le point C de la droite $D_2$ d'abscisse 3.

Calculer l'ordonnée $y$ de ce point.
\item A désigne le point de coordonnées $(-1~;~5)$. Démontrer
que le triangle ABC est rectangle en A et isocèle.
\item Calculer les coordonnées du point M milieu de [BC] et du point E symétrique de A par rapport à M.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\end{document}