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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Paris}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : $a = \dfrac35$ et $b = \dfrac54$.

Calculer $a - b \:;\quad \dfrac ab \:; \quad ab^2$.

On donnera les résultats sous la forme d'une fraction
irréductible.
\item On donne : $c = \sqrt 8$ et $d = 4\sqrt 2$.

Écrire sous forme du produit d'un entier relatif par $\sqrt 2$ les
nombres $c - d$ et $cd^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose: $E = (2x + 3)^2- (7 - x)(2x + 3)$,\: $x$ étant un
nombre réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Deux réels $A$ et $B$ ont pour somme $37$, pour différence $5$, et $A$ est plus grand que $B$.

Calculer ces deux nombres.
\item Deux réels $C$ et $D$ vérifient les équations suivantes :

\[C + D = 37 \quad;\quad C^2 - D^2 = 185.\]

	\begin{enumerate}
		\item Après avoir factorisé $C^2- D^2$, calculer $C - D$.
		\item En déduire les nombres $C$ et $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Construire un cercle $(C)$ de centre I et de rayon $3$~cm. 

Soit [EF] un diamètre de $(C)$ et B un point de $(C)$ tel que EB $= 4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BF{}.
\item Soit O le milieu du segment [EB]. Démontrer que les
droites (OI) et (BE) sont perpendiculaires.
\item Calculer $\cos \widehat{\text{BEF}}$.

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BEF}}$ à un degré près par défaut.

On pourra utiliser les extraits de tables numériques et trigonométriques suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés 	&50 		&49			&48 		&47 		&46\\ \hline
Cosinus &\np{0,6428} &\np{0,6561} &\np{0,6691} &\np{0,6820} &\np{0,6947}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne un parallélogramme RSTV de centre I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point M tel que $\vect{\text{RM}} = \vect{\text{RV}} + \vect{\text{IR}}$.
\item Placer le point N tel que SITN soit un parallélogramme.
\item Montrer que $\vect{\text{RM}} = \vect{\text{IV}}$ et que $\vect{\text{SI}}= \vect{\text{NT}}$.
\item En déduire que $\vect{\text{RM}} = \vect{\text{NT}}$ et la nature du quadrilatère RMTN.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij{}:
(On prendra sur chaque axe 5 mm pour unité.) 

Soit $(\Delta)$ la droite equation $y = - \dfrac52 x + 35$.
\begin{enumerate}
\item Trouver les coordonnées du point A intersection de $(\Delta)$ avec l'axe des abscisses.
\item Trouver les coordonnées du point B intersection de $(\Delta)$ avec l'axe des ordonnées.
\item Tracer la droite (~) (on choisira l'origine du repère de façon à pouvoir placer A et B sur la figure).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un examen comporte les deux épreuves écrites suivantes :

\begin{itemize}
\item une épreuve de musique (coefficient 5);
\item une épreuve de dessin (coefficient 2).
\end{itemize}

Chacune de ces épreuves est notée de 0 à 20.

Un candidat, pour être reçu, doit obtenir $10$ de moyenne entre les deux épreuves. 

La moyenne $m$ est donnée par la formule suivante :

\[m = \dfrac{5x + 2y}{5 + 2}\]

où $x$ est la note obtenue en musique et $y$ la note obtenue en dessin.
\begin{enumerate}
\item Martine qui a obtenu Il,5 en musique et 8 en dessin sera-t-elle reçue à l'examen? Justifier la réponse.
\item Pierre a obtenu 7,5 en dessin.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle note doit-il avoir en musique pour obtenir
exactement 10 de moyenne?
		\item Ses parents lui ont promis une mobylette s'il obtenait à son examen, une moyenne supérieure ou égale à $12,5$.
				
Combien doit-il obtenir au minimum en musique pour avoir sa mobylette ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle relation existe-t-il entre $x$ et $y$ lorsque la moyenne $m$ est égale à $10$ ?
		\item Montrer que cette relation peut s'écrire sous la forme

\[y= -\dfrac 52 x + 35.\]

	\end{enumerate}
\item En lisant le graphique de la partie A, répondre aux
questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Si un élève a $5$ en dessin, combien doit-il avoir en musique pour que sa moyenne m soit égale à $10$ ?
		\item Est-il possible d'avoir $10$ de moyenne en ayant $0$ en dessin? À quelle condition ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}