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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1990}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les quatre questions sont indépendantes. 

\begin{enumerate}
\item On pose :

\[N = \left(\dfrac23 + \dfrac45\right)\left(\dfrac32 - \dfrac78\right)\]

Ce nombre est-il égal à $\dfrac{11}{12}$ ?
\item Prouver que $A= \sqrt 8 \times \sqrt 2 - 2\sqrt{75} + 5\sqrt {12}$ est un nombre entier.
\item On pose $E= (x + 5)(2x + 3) - (x + 5)(5x - 2)$.
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $E$.
		\item Résoudre l'équation $(x + 5) (- 3x + 5) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le professeur de mathématiques d'une classe de troisième a représenté les résultats d'un contrôle par le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note sur 20		&2 &6 &7 &8 &10& 11&12&14&16&17&19\\ \hline
Nombre d'élèves	&1 &2 &1 &3 &4& 2 &5 &3& 1 &2 &1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Sachant qu'il n'y avait pas d'élève absent lors de ce contrôle combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ?
		\item Quelle est la moyenne de la classe à ce contrôle ?
		\item Combien d'élèves ont obtenu au moins la note $10$ au contrôle?
		\item Le professeur affirme: \og 48\,\% des élèves ont obtenu une note supérieure à 11 \fg.
		
A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

Les deux exercices sont indépendants.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.5)(2.2,3.1)
%\psgrid
\psline[linestyle=dashed](-1.9,0.1)(1.9,-0.1)(0.3,1.2)%MRN
\psline[linestyle=dashed](-0.3,-1.2)(0.3,1.2)(-1.9,0.1)%TNM
\psline(-0.3,-1.2)(-1.9,0.1)(0,2.7)(1.9,-0.1)(-0.3,-1.2)(0,2.7)%TMSRTS
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,2.7)(0.3,1.2)%ASN
\uput[dl](-1.1,-0.55){I} \uput[l](-1.9,0.1){M} \uput[u](0,2.7){S} \uput[r](1.9,-0.1){R}
\uput[d](-0.3,-1.2){T} \uput[dr](0,0){A} \uput[ur](0.3,1.2){N}
\rput{45}(-1.1,-0.55){$\times$}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.55\linewidth}SMNRT est une pyramide régulière à base carrée MNRT de côté 10 cm et de sommet S. 

La hauteur [SA] mesure 10 cm.

Le point I est le milieu du segment [MT].

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Représenter en vraie grandeur la base MNRT de la pyramide et placer sur cette figure les points A et I.
		\item Calculer AI et montrer que IR $= 5\sqrt 5$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de SI.
		\item Le triangle SIR est-il isocèle ?
	\end{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée à $1\degres$ près de
l'angle $\widehat{\text{SIA}}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(9,6.5)
%\psgrid
\pspolygon(1,0.2)(8.1,0.2)(3.3,6.6)%BCA
\psline(2.16,3.4)(5.7,3.4)%IJ
\psline{<->}(2,3.5)(3.1,6.65)\rput{70}(2.3,5.075){5~cm}
\psline{<->}(0.5,0.3)(2.7,6.85)\rput{70}(1.4,3.65){12~cm}
\psline{<->}(5.9,3.5)(8.35,0.3)\rput{-50}(7.35,1.95){9,1~cm}
\uput[dr](2.1,3.5){I} \uput[dl](5.7,3.4){J}
\uput[dl](1,0.2){B} \uput[dr](8.1,0.2){C}\uput[u](3.3,6.6){A} 
%\uput[dr](0,0){A} \uput[ur](0.3,1.2){N}
%\rput{45}(-1.1,-0.55){$\times$}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
Avec le centimètre pour unité, les données de la figure ci-contre sont: AI = 5 ; AB = 12 ; JC = 9,1

Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.

Calculer AJ
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

évaporé en mm. i
1 1 1.

Alain, Béatrice et Christophe sont chargés par leur professeur de biologie  d'étudier l'évaporation de trois liquides différents notés A, B et C. 

Il disposent chacun de la même éprouvette graduée de $18$ cm de hauteur et ont trois semaines pour remettre leurs résultats.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Alain, qui est chargé du liquide A, remet à son professeur un graphique (voir annexe). En exploitant ce graphique répondre aux questions suivantes
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la hauteur du liquide dans l'éprouvette au début de l'expérience?
		\item Quelle est la hauteur du liquide dans l'éprouvette au bout de 15 jours ?
		\item Au bout de combien de jours le liquide aura~t-il baissé de 10 cm ;
	\end{enumerate}
\item Béatrice, qui étudie le liquide B, remet à son professeur le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ : temps en jours										& 0 	&5 	&8 &15&21\\ \hline
$y$ : hauteur du liquide restant dans l'éprouvette  en mm.	& 150 	&115&94&45&3\\ \hline
$h$ : hauteur de liquide en mm								&0		& 35&56&105&147\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En exploitant les données de ce tableau répondre aux questions suivantes :

	\begin{enumerate}
		\item La hauteur $h$ de liquide évaporé étant proportionnelle au temps $t$, déterminer $h$ en fonction de $t$.
		\item En déduire que $y = - 7t + 150$ puis tracer, sur le graphique fourni par Alain, la représentation graphique de cette application affine.
	\end{enumerate}
\item Christophe qui s'occupe du liquide C se contente de remettre à son professeur la \og formule \fg{} $y =160 - 8t$ où, précise-t-il, $t$ représente le temps mesuré en jours et $y$ la hauteur du liquide restant dans l'éprouvette mesurée en mm.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle était la hauteur du liquide dans l'éprouvette au début de. l'expérience ?
		\item Au bout de combien de jours le liquide a-t-il baissé de moitié ? 
		\item Représenter, toujours sur le même graphique. l'application affine
définie par 

$y= 160 - 8t$.
	\end{enumerate}
\item Le professeur fait remarquer qu'à un certain moment les liquides étaient à la même hauteur dans les trois éprouvettes.
	\begin{enumerate}
		\item  Comment peut-on vérifier cette affirmation sur le graphique? 
		\item  Comment peut-on le vérifier par le calcul?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
\vspace*{-1cm}
\begin{landscape}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(27,180)
\multido{\n=0+1}{28}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,180)}
\multido{\n=0+5}{37}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(27,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(27,180)
\uput[d](26,0){$t$}\uput[l](0,175){$y$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=red](0,130)(2,120)(5,105)(10,80)(15,55)(20,30)(21,25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](8,135)(22,175)
\rput(15,170){Graphique remis par Alain à son professeur}
\rput(15,160){-- $t$ représente le temps mesuré en jours}
\rput(15,150){-- $y$ représente la hauteur du liquide res-}
\rput(15,140){tant dans l'éprouvette mesurée en mm}
%\psframe[linewidth=1.5pt](14,140)(25,170)
%\rput(18,165){$t$ représente le temps}
%\rput(17.4,160){mesuré en jours}
%\rput(18.3,155){$y$ représente la hauteur}
%\rput(19.4,150){de liquide restant dans l'éprou-}
%\rput(18.2,145){vette mesurée en mm}
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{document}