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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1991}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

 2 (1 
On donne :

\[A = \dfrac15 + \dfrac23 - 1\quad \text{et}\quad B = 3 - 5\left(\dfrac15 - 1\right)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$ sous forme d'une fraction.
\item Comparer $A$ et $B$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose : $a = \sqrt 3\left(1 + \sqrt 6\right)$ et $b = 3 - \sqrt 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a^2,\: b^2$ et $a^2 + b^2$.

 Reconnaître que $a^2 + b^2$ est un nombre entier.
\item Si $a$ et $b$ sont les longueurs des côtés de l'angle droit dans un triangle rectangle, quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $E = x^2 - (6 - x)(4 - x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer $E$.
		\item Résoudre l'équation $E = 0$.
	\end{enumerate}	
\item ABCD est un rectangle de longueur $6$~cm et de largeur $4$~cm.

On trace (voir figure ci-dessous) les segments [MI] et [NJ] tels que:
(MI) est parallèle à (AD), (NJ) est parallèle à (AB).

AMON est un carré. 

Posons AM $= x$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $x$, l'aire du carré AMON et celle du rectangle JOIC.
		\item Pour quelle valeur de $x$, ces deux aires sont-elles égales ? (vérifier que la valeur trouvée convient bien à la situation étudiée).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.2,4.4)
\psframe(0.2,0.2)(5.9,3.9)
\psline(0.2,2.5)(5.9,2.5)%MI
\psline(1.6,3.9)(1.6,0.2)%NJ
\uput[ul](0.2,3.9){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](5.9,0.2){C}
\uput[ur](5.9,3.9){D} \uput[r](5.9,3.9){I} \uput[d](1.6,0.2){J}
\uput[l](0.2,2.5){M} \uput[u](1.6,3.9){N} \uput[dr](1.6,2.9){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans cet exercice, les données ont été arrondies pour faciliter les calculs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour les vendre, les ostréiculteurs classent leurs huîtres par catégories numérotées de 1 à 6.
Une fois classées, un ostréiculteur expédie ses huîtres en caissettes (appelées bourriches) de $100$~huîtres.

Pour les fêtes de Noël 1990, ses expéditions se sont réparties ainsi:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Catégorie &1&2&3&4&5&6\\ \hline
Nombre de bourriches expédiées&
10 &40 &200 &320 &360 &70\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Représenter ces données dans un diagramme à bâtons (choisir convenablement les unités graphiques).
		\item Déterminer la fréquence en pourcentage pour chaque catégorie.
	\end{enumerate}
\item On sait que :

\begin{itemize}
\item la France compte environ $56,6$ millions d'habitants;
\item la consommation annuelle française est de $2$~kg environ par habitant;
\item il se produit environ \np{125000} tonnes d'huîtres par an.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item La production française suffit-elle à la consommation des Français ?
		\item Combien la France produit-elle de kg d'huîtres par habitant en moyenne? (arrondir à $100$ g près).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). (unité graphique 1~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la droite $D$ d'équation : $y = - 0,5x + 3$.
		\item $D$ coupe la droite (OI) en A et la droite (OJ) en B.

Calculer les coordonnées de A et de B.
	\end{enumerate}	
\item Par N$(- 2~;~0)$, on.trace la parallèle à $D$ qui coupe (OJ)
en M.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du théorème de Thalès, calculer OM.
		\item En déduire les coordonnées de M.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3.8,-4.8)(3.8,4.6)
%\psgrid
\psellipse(0,4.2)(3.8,0.5)
\psellipticarc(0,1.9)(1.77,0.38){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,1.9)(1.77,0.38){0}{180}
\psellipticarc(0,-4.4)(3.8,0.5){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-4.4)(3.8,0.5){0}{180}
\psline(-3.8,-4.4)(3.8,4.2)
\psline(3.8,-4.4)(-3.8,4.2)
\psline[linestyle=dashed](0,-4.4)(0,4.2)(1.6,4.63)(0,-0.1)
\psline[linestyle=dashed](0,1.9)(0.8,2.22)
\psline(0,4)(0.2,4.04)(0.2,4.24)
\psline(0,1.7)(0.2,1.75)(0.2,1.94)
\uput[u](1.6,4.63){A}\uput[ur](0.8,2.22){M}
\uput[l](0,1.7){N}\uput[l](0,-0.1){O}\uput[l](0,4.2){H}
\psarc(0,-0.1){0.6}{75}{90}
\rput(0.1,0.65){\small $a$}
\end{pspicture}
\end{center}

Ce sablier est constitué de deux cônes identiques de sommet O. 

Nous savons que :

OH $= 12$ cm et OA $= 15$ cm,
où H est le centre du cercle supérieur du sablier.

Le cône supérieur contient encore du sable formant un cône de hauteur ON $= 7$~cm.

La figure  précédente n'est pas à l'échelle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance HA, rayon du cercle supérieur du sablier.
\item Représenter en vraie grandeur le triangle OHA et tracer le segment [NM].
\item Calculer la distance OM.
\item À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée,
 à 1 degré près, de l'angle $\widehat{\text{AOH}}$.
\item On rappelle que le volume d'un cône s'obtient en effectuant le calcul suivant :

$V = \dfrac{b \times h}{3}$, $V$ désigne le volume, $b$ l'aire de la base, $h$ la hauteur.

Calculer une valeur approchée au centième près du volume du cône supérieur.
\item Calculer le volume de sable encore dans le cône supérieur. 

Sachant qu'au départ, le cône supérieur était plein de sable, quel est le volume du sable écoulé dans le cône inférieur ?
\item Le débit du sablier est de 2 cm$^3$/s. Cela signifie que pendant une seconde, il s'écoule $2$~cm$^3$ de sable.

Arrondir les deux résultats suivants à la seconde près:
	\begin{enumerate}
		\item Depuis combien de temps le sable s'écoule-t-il ?
		\item Pendant combien de temps, le sable continuera-t-il de couler ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}