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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1993}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\[A = 3x^2 +4x - 4\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de $A$ lorsque $x = 3$.
\item Montrer que $- 2$ est solution de l'équation $3x^2 + 4x - 4 = 0$.
\item Résoudre l'équation $(3x - 2)(x + 2) = 0$.
\item Développer $(3x - 2)(x + 2)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre le système suivant $\left\{ \begin{array}{l c r}
3x + 2y 					&=& - 10\\
\phantom{3}x - \phantom{2}y	&=&7
\end{array}\right.$

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une classe de troisième de $28$ élèves, le professeur d'histoire demande à chacun de ses élèves -- juste avant un contrôle -- combien de temps il a consacré à la révision de ses leçons pour préparer le contrôle.

À l'issue du devoir, il corrige les copies puis remplit le tableau d'effectifs ci-dessous.

$t$ désigne le temps de révision.

$n$ désigne la note obtenue au contrôle.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{1}{$n$}&$0 \leqslant n < 5$& $5\leqslant
n < 10$& $10\leqslant n < 15$&$15 \leqslant n < 20$& effectifs totaux\\ \hline
\small Strictement moins d'1/2 heure&1&4&1&0&\\ \hline
\small De 1/2 heure à 1 heure&1&3&8&2&\\ \hline
\small Strictement plus d'1 heure&0&2&3&3&\\ \hline
\small Effectifs totaux&&&&&\\ \hline\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Complétez le tableau ci-dessus.
\item Combien d'élèves ont obtenu une note au moins égale à 5 et strictement inférieure à 10 ?
\item Combien d'élèves ont travaillé au plus une heure ?
\item Quel pourcentage d'élèves ont obtenu au moins la note $10$ ? (Arrondir au taux entier le plus proche.)
\item Construire un diagramme semi-circulaire représentant la répartition des effectifs suivant le temps de révision. Le détail des calculs devra apparaître sur la copie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AD = DH = 4 et AB = 10.

I est le milieu de [AB].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.2,6.1)
\psframe(0.3,0.3)(8.3,3.5)%ABFE
\psline(8.3,0.3)(9.5,2.1)(9.5,5.3)(8.3,3.5)%BCGF
\psline(9.5,5.3)(1.5,5.3)(0.3,3.5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.5,2.1)(9.5,2.1)(4.3,0.3)(1.5,5.3)(4.3,0.3)(1.5,2.1)(1.5,5.3)(9.5,2.1)%ADCIHIDHC
\psline(1.5,2.3)(1.7,2.14)(1.7,1.94)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](8.3,0.3){B} \uput[r](9.5,2.1){C}
\uput[l](1.5,2.1){D} \uput[l](0.3,3.5){E} \uput[r](8.3,3.5){F}
\uput[ur](9.5,5.3){G} \uput[ul](1.5,5.3){H} \uput[d](4.3,0.3){I}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Représenter en vraie grandeur la face ABCD et placer le point I.
		\item Calculer DI. On donnera la valeur exacte.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle DIC.
		\item Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide HDIC. 
		
En donner ensuite une valeur approchée entière à 1 cm$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$(\mathcal{C})$ est un cercle de centre O et de rayon $3$~cm. 

[TG] est un diamètre de $(\mathcal{C})$ et A un point de $(\mathcal{C})$ tel que GA $= 3$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle TAG est rectangle.
		\item Déterminer une mesure exacte de l'angle $\widehat{\text{ATG}}$ ?
		\item Montrer que TA $= 3 \sqrt 3$~cm.
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu de [OG]. La parallèle à (OA) passant par I coupe (TA) en R.
	
Calculer TR. On donnera la valeur exacte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip



\textbf{A.}  Utiliser le graphique ci-après :

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(22,21)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-1,-4)(22,21)
\pscurve(0,12)(-1,11)(0,11.3)(1,10.9)(2,11)(3,11.3)(4,11.8)(5,12)(6,12)(7,11.4)(8,11.6)(9,12.3)(10,12.7)(11,12.8)(12,12.5)
\pscurve(5,-1)(6,-0.5)(5,0)(4.6,1.6)(5,1.7)(5.2,2)(6,2)(6.6,1.85)(7,2)(7.5,2.15)(8,2)(9,2.5)(10,2.6)(11,2.1)(12,2)(13,2.09)
\psdots(1,0)(0,1)(6,2)(6,12)
\rput(8.5,16){ANGLETERRE}\rput(13,-2){FRANCE}
\uput[dr](1,0){I}\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](0,1){J}\uput[ur](6,12){P}\uput[ur](6,2){R}
\uput[u](21,0){$x$}\uput[r](0,20){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

Les courbes représentent les côtes de la France et de l'Angleterre. 

Le point P représente la ville de Plymouth.

Le point R représente la ville de Roscoff.

La droite (PR) est parallèle à l'axe (Oy).

Le repère (O, I, J) est orthonormal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les coordonnées des points P et R dans le repère (O, I, J). 
\item Placer dans le repère (O, I, J) le point S de coordonnées (14~;~2) représentant la ville de Saint-Malo.
\item Pourquoi la droite (RS) est-elle parallèle à l'axe (O$x$) ?

En déduire la nature du triangle PRS.

\item Le repère (O, I, J) étant orthonormal, utiliser le graphique pour
lire les distances RP et RS.

Calculer la valeur exacte de la distance PS.

\item Une balise est située en T milieu du segment [PS].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point T dans le repère (O, I, J).
		\item Que représente le point T pour le triangle PRS ?
	\end{enumerate}	
\item L'unité du repère représente $10$ milles marins.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les réponses de la question 4., donner les distances en mille marin séparant les trois villes Plymouth, Roscoff et Saint-Malo (arrondir au mille marin les résultats).
		\item À l'aide de la question 5, donner les distances TR, TP et TS en mille marin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} Un bateau A part de Roscoff à $8$ heures pour aller à Plymouth
en suivant la route [RP] à la vitesse moyenne de $8$ nœuds (1 nœud représente une vitesse de 1 mille marin par heure).

Un bateau B part de Saint-Malo à $12$ heures pour aller à Plymouth en suivant la route [SP] à la vitesse moyenne de $16$~nœuds.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la durée de la traversée pour chaque bateau? 

En déduire celui qui arrive le premier à Plymouth.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quelle heure le bateau B se trouve-t-il au niveau de la balise
T ?

À cette même heure, à quelle distance en mille marin de Roscoff se trouve le bateau A ?
		\item Placer alors sur le graphique le point K représentant la position
du bateau A à ce moment.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}