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%Tapuscrit : jean-claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers }}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Poitiers juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}
\medskip

On donne l'expression
\[A(x) = \dfrac{x -1}{x - 3} - \dfrac{x + 1}{ x + 3}- \dfrac{x - 9}{x^2-9}. \]

\begin{enumerate}
\item  Certaines valeurs de $x$ étant exclues, pour des
raisons que l'on indiquera, mettre $A(x)$ sous la forme la
plus simple possible. 
\item Calculer les valeurs numériques prises par $A(x)$ pour

\[x = 3\sqrt{2}  \qquad \text{et pour }\qquad  x = -\dfrac{2}{3}.\]
\item Trouver pour quelle valeur de $x$ l'expression $A(x)$
prend la valeur $- 3$.
\item On considère l'expression $y =\dfrac{-6}{A(x)}$ , qui définit une
fonction de $x$ et qu'on représentera graphiquement.

On utilisera le graphique pour retrouver la valeur de $x$ qui
donne à $A(x)$ la valeur $- 3$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Sur un cercle de centre O, de rayon $R$, on prend trois points, A, B, C. 

On désigne par [AA$'$], [BB$'$], [CC$'$] les hauteurs du triangle ABC, par H son orthocentre.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que A$'$A, B$'$B, C$'$C sont bissectrices des angles du triangle A$'$B$'$C$'$.

\emph{On se bornera à établir la propriété pour une seule
des hauteurs,} [B$'$B] \emph{par exemple.}

La droite (AA$'$) coupe la droite (B$'$C$'$) en P.

Établir la relation $\dfrac{\text{HP}}{\text{HA}'}=\dfrac{\text{AP}}{\text{AA}'}$
\item Démontrer que (B$'$C$'$) est parallèle à la tangente en A au cercle donné.
\item  Supposant AB $>$ AC, on appelle M le point de rencontre de cette tangente et de la droite (BC).

Calculer MA, sachant que BC $= 10$ et CM $= 8$.

Sachant, de plus, que $R = 9$, calculer MO.
\item Faire connaître le sinus, le cosinus, la tangente
de l'angle $\widehat{\text{AMO}}$.
\end{enumerate}

\end{document}